Espacio topológico del Vector

Question

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Que $\{U_{\lambda}: \lambda \in L\}$ sea una base de barrios en $0$ en un espacio topológico del vector $\mathcal{X}$. Entonces $\{U_{\lambda}+ U_{\lambda}: \lambda \in L\}$ también es una base de barrios.

Tengo una intuición de que esto es demostrado con la continuidad del operador "+", pero no ha podido proceder de am.

Answer 1

Tu intuición es correcta. Que $U$ ser un barrio en $0$, $+: X\times X\to X$ es un mapa continuo entonces $+^{-1}(U)$ es abierto y $(0,0)\in +^{-1}(U)$. Por definición de la topología producto hay $\lambda_1, \lambda_2$ así que $U_{\lambda_1}\times U_{\lambda_2}\subseteq +^{-1}(U)$. Usando el hecho de que $U_{\lambda_1}\cap U_{\lambda_2}$ es un barrio en $0$ podemos encontrar un $\lambda$ tal que $U_{\lambda}\subseteq U_{\lambda_1}\cap U_{\lambda_2}$. Sigue que $U_\lambda\times U_\lambda\subseteq +^{-1}(U)$, en otras palabras $U_\lambda+ U_\lambda=+(U_\lambda\times U_\lambda)\subseteq U.$