Extensión de una función continua para que la integral no cambie

Question

Supongamos que $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ es una función continua. ¿Puede otra función continua $g : [a,c] \to \mathbb{R}$ se defina de forma que $\int_a^b f(x)dx =\int_a^c g(x)dx$ para que $f(x) = g(x), x\in[a,b]$ y $c>b$

(Nota: si $g \geq 0$ en $[b,c]$ esto no será posible, pero esta restricción no se impone a lo anterior).

Answer 1

Definir la nueva función $g$ de la siguiente manera: $ g(x)=f(x)$ $\forall x \in [a,b] $ y $g(x)= \frac{2f(b)(x-c)}{b-c} -f(b)$ en $(b,c]$ . La última parte sólo representa una función lineal cuya integral en $[b,c]$ es cero. Por lo tanto, satisface los criterios requeridos.

Answer 2

Sí, no es tan malo. En concreto, supongamos que $f(b) = g(b) = K$ . Entonces dejemos que $g(c) = -K$ y que $g$ sea lineal entre $b$ y $c$ . Entonces se integra a cero y coincide con $f$ en el intervalo.