¿Hasta dónde puede uno llegar en el análisis sin salir de $\mathbb{Q}$?

Question

Supongamos que usted está tratando de clases de análisis para un terco algebrista que se niega a reconocer la existencia de cualquier característica $r$ and any $\epsilon>0$, the set $\left\{x\in\mathbb{Q}:\left|x-r\right|<\epsilon\right\}$$ field other than $\mathbb{Q}$. Lo feo son las cosas que van a obtener por él?

El algebrista argumenta que los números reales son un tonto de la construcción, ya que cualquier número real se puede aproximar arbitrariamente alta precisión por los números racionales - es decir, dado cualquier número real $f(x)=x^2$ and $g(x)=2$ are nonintersecting functions in $\mathbb{Q}$. They do, however, come arbitrarily close to intersecting, i.e. given any $\epsilon>0$ there exist rational solutions to $\left|2-x^2\right|<\epsilon$ es no vacío, así que sacia el loco dioses de álgebra.

Como @J. M. y @75064 me señaló en el chat, comenzamos a tener algunos topología de problemas, por ejemplo, que %#%#%. El algebrista no encontrar esta totalmente insatisfactorio.

Donde es este chico realmente va a empezar a correr en problemas? Hay definiciones en el análisis de que simplemente no puede ser razonablemente formulado sin salir de los números racionales? Cuáles son los conceptos que sería particularmente difícil de entender sin el resto de los reales?

Answer 1

¿Qué tipo de algebrista "se niega a reconocer la existencia de cualquier característica 0 campo distinto de $\mathbb{Q}$"?? But there is a good question in here nevertheless: the basic definitions of limit, continuity, and differentiability all make sense for functions $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$. The real numbers are in many ways a much more complicated structure than $\mathbb{Q}$ (y en muchas otras formas son mucho más simples, pero eso no importa aquí!), así que es natural preguntarse si son realmente necesarios para el cálculo.

Extrañamente, esta pregunta ha recibido una atención seria relativamente hace poco. Por ejemplo:

$\bullet$ Tom Korner's real analysis text takes this question seriously and gives several examples of pathological behavior over $\mathbb{Q}$.

$\bullet$ Michael Schramm real de análisis de texto es inusualmente profundo y lúcido en la fabricación de las conexiones lógicas entre los principales teoremas de cálculo (aunque hay una implicación errónea de allí). He encontrado que es muy atractivo, ya que de este.

$\bullet$ My honors calculus notes often explain what goes wrong if you use an ordered field other than $\mathbb{R}$.

$\bullet$ $\mathbb{R}$ es el único ordenado de campo en el que real de inducción es posible.

$\bullet$ La más completa de las respuestas a su pregunta se puede encontrar en dos recientes artículos Mensuales, por Jim Propp y por Holger Teismann.

Pero como el título de Teismann del artículo sugiere, incluso los dos últimos artículos no completar la historia.

$\bullet$ Here is a short note whose genesis was on this site which explains a further pathology of $\mathbb{Q}$: no hay absolutamente convergente la serie que no son convergentes.

$\bullet$ Sólo hace un par de semanas Jim Propp escribió para decirme que Tarski del Teorema de Punto Fijo caracteriza integridad en ordenadas los campos y admite una prueba interesante el uso Real de la Inducción. (Lo puse en mi honores cálculo de las notas). Por lo que la diversión continúa...

Answer 2

Esta situación me parece como que vale la pena un uso de su tiempo tratando de razonar con un estudiante en una clase de idiomas que se niega a aceptar una construcción gramatical o de vocabulario la palabra que se usa todos los días por hablantes nativos. Sin los números reales como un fondo sobre el que las construcciones están hechas, la más fundamental de las construcciones en el análisis de romper, por ejemplo, no coherente de la teoría del poder, como la serie de funciones. E incluso algebraicas de las funciones no algebraicas antiderivatives: si usted es un fan de la función /x$ and you want to integrate it then you'd better be ready to accept logarithms. The theorem that a continuous function on a closed and bounded interval is uniformly continuous breaks down if you only work over the rational numbers: try $f(x) = 1/(x^2-2)$ on the rational closed interval $[1,2]$.

Dejando de lado el tema de análisis, un estudiante de matemáticas que se continúa con esta actitud no va a llegar muy lejos, incluso en el álgebra, considerando la importancia de los números algebraicos que no son números racionales, incluso para resolver problemas que se plantean sólo en la configuración de los números racionales. Este estudiante debe tener una comprensión muy limitada de álgebra. Después de todo, ¿qué sería de esta persona decir que se trata de construcciones como ${\mathbf Q}[x]/(x^2-2)$?

De vuelta a análisis, si esta persona es un die hard algebrista, a continuación, proporcionar una definición de los números reales que se siente en gran parte algebraica: los números reales son el cociente del anillo de $A/M$ where $A$ is the ring of Cauchy sequences in ${\mathbf Q}$ and $M$ is the ideal of sequences in ${\mathbf Q}$ that tend to %#%#%$. This is a maximal ideal, so $A/M$ is a field, and by any of several ways one can show this is more than just the rational numbers in disguise (e.g., it contains a solution of $t^2 = 2$, or it's not countable). If this student refuses to believe $A/M$ is a new field of characteristic %#%#%$ (though there are much easier ways to construct fields of characteristic %#%#%$ además de los racionales), dirigirlo a libros que explican lo que son los campos.

Answer 3

Hice mi pregrado proyecto de Análisis en un mundo racional', porque parecía divertido. Resulta que el uso de definiciones sobre $\mathbb{Q}$ means you can solve $d^n F/d x^n=G(x,F,dF/dx,\ldots,d^{n-1}F/dx^{n-1})$ con cada uno de los derivados bijective en casi cualquier intervalo que desee. Divertido, pero no muy como el análisis real.

Answer 4

La de Bolzano-Weierstrass, Cantor del teorema, y otros teoremas que esencialmente hablar de compacidad de cerrado intervalos de ensuciar.

Considerando que cada delimitada de la secuencia de los números reales tiene un convergentes larga, si usted toma una de las secuencias de números racionales que converge a $\sqrt 2$ it does not have a convergent subsequence in $\Bbb Q$.

Del mismo modo, la intersección de la disminución de las secuencias de intervalos cerrados no se puede garantizar que a no puede ser vacío. Y estoy bastante seguro de que podemos de alguna manera encontrar un camino para la construcción de una función continua en un intervalo acotado, que no es uniformemente continua.

Answer 5

Lo que cuenta como "sin salir de $\mathbb{Q}$"? Suppose our framework for theorising about the rationals is the axiomatizable fragment of second-order logic which only allows predicative instances of comprehension. That framework arguably is logic, not set theory in disguise, and the resulting second-order theory is arguably talking about nothing over and above the rationals. But such a theory will be equivalent in strength to the weak second-order arithmetic $\mathsf{ACA_0}$, en el que es bien sabido que se puede reconstruir el análisis clásico y mucho más.

Gire el OP pregunta de todo un poco: ¿cuánto más allá (de primer orden) de la teoría de los racionales es que realmente se requiere para reconstruir el análisis clásico? Esta pregunta ha sido intensamente investigado en el proyecto de inversión de Matemáticas (que me sorprende otros que no hemos mencionado todavía): en la parte del encabezado términos, la respuesta es "mucho menos de lo que hubiera imaginado". Si el proyecto no es familiar para usted, el lugar para comenzar es con el libremente disponible el primer capítulo de Stephen Simpson ya clásico libro.