Cómo encontrar el límite de $\lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^n x}{x^2}$

Question

Cómo puedo Mostrar

$$ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos^n x} {x ^ 2} = \frac{n}{2} $$

¿sin usar serie de Taylor $\cos^n x = 1 - \frac{n}{2} x^2 + \cdots\,$?

Answer 1

De l'Hopital la regla... %#% $ #%

Answer 2

Aquí, utilizamos un enfoque que es más eficiente y más elemental que el uso de la regla de L'Hospital.

Simplemente el término $1-\cos^n(x)$ como el factor

$$1-\cos^n(x)=(1-\cos(x))\sum_{m=0}^{n-1}\cos^m(x)$$

Entonces, tenemos

$$\begin{align} \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos^n(x)}{x^2}&=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\sum_{m=0}^{n-1}\cos^m(x)\\\\ &\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{x^2} \lim_{x\to 0} \sum_{m=0}^{n-1}\cos^m(x)\\\\ &=\left(\frac12\right)(n)\\\\ &=\frac n2 \end {Alinee el} $$

Answer 3

$$\lim_{x\to0}\frac{1-\cos^n(x)}{x^2}=$$

---

Aplicando la regla de l'Hôpital, obtenemos:

---

$$\lim_{x\to0}\frac{\frac{\partial}{\partial x}\left(1-\cos^n(x)\right)}{\frac{\partial}{\partial x}\left(x^2\right)}=\lim_{x\to0}\frac{n\sin(x)\cos^{n-1}(x)}{2x}=$$

---

Por la regla del producto:

---

$$\frac{1}{2}\left[\lim_{x\to0}\frac{n\sin(x)}{x}\right]\left[\lim_{x\to0}\cos^{n-1}(x)\right]=\frac{1}{2}\left[\lim_{x\to0}\frac{n\sin(x)}{x}\right]\left[\cos^{n-1}(0)\right]=$$ $$\frac{1}{2}\left[\lim_{x\to0}\frac{n\sin(x)}{x}\right]\left[1\right]=\frac{1}{2}\left[\lim_{x\to0}\frac{n\sin(x)}{x}\right]=\frac{1}{2}\left[n\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}\right]=$$

---

Aplicando la regla de l'Hôpital, obtenemos:

---

$$\frac{1}{2}\left[n\lim_{x\to0}\frac{\frac{\partial}{\partial x}\left(\sin(x)\right)}{\frac{\partial}{\partial x}\left(x\right)}\right]=\frac{1}{2}\left[n\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)}{1}\right]=\frac{1}{2}\left[n\lim_{x\to0}\cos(x)\right]=$$ $$\frac{1}{2}\left[n\cos(0)\right]=\frac{1}{2}\left[n\cdot1\right]=\frac{1}{2}\left[n\right]=\frac{n}{2}$$

Answer 4

Basta con saber que $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$, ya que:

$$\begin{eqnarray*} \frac{1-\cos^n x}{x^2} &=& \frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}\cos^k(x) = \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}\cdot \sum_{k=0}^{n-1}\cos^k(x)\\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2 \cdot \sum_{k=0}^{n-1}\cos^k(x)\stackrel{x\to 0}{\longrightarrow}\color{red}{\frac{n}{2}}.\end{eqnarray*}$$

Answer 5

Sin l ' Hospital:

Gracias a $\dfrac{\sin(x)}x\to1$, uno puede intercambiar $x$ y $\sin(x)$ y reescribir los límites que

$$\lim_{x\to0}\frac{1-(1-x^2)^{n/2}}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{1-(1-x^2)^n}{x^2(1+(1-x^2)^{n/2})}.$$

Y por el teorema del binomio,

$$ \lim_{x\to0}\frac{1-1+nx^2-\binom n2x ^ 4 + n3x \binom ^ 6\cdots} {2 x ^ 2} = \frac n2. $$