Cómo demostrar que $R/I$ es artiniano cuando R es PID

Question

Estoy trabajando a través de algunos de Hungerfords "Álgebra", y tener problemas con el ejercicio VIII 1.2.:

Demuestre que si $I$ es un ideal no nulo en un dominio ideal principal (PID) $R$ , entonces el anillo $R/I$ es tanto noetheriano como artiniano.

Sé que $R$ es noetheriano ya que es un PID (esto se deduce del Lema III. 3.6 ). Para demostrar que $R/I$ es noetheriano he observado entonces que como $I$ es un submódulo de $R$ (visto como un $R$ -) y como $R$ es noetheriano se deduce que $R/I$ es noetheriano (por el corolario VIII 1.6).

Mi problema es entonces cómo demostrar que $R/I$ es Artiniano.

¿Puede alguien darme una pista?

Answer 1

Conocemos los ideales de $R/I$ son de la forma "ideal de $R$ que contiene $I$ " mod $I$ . Por lo tanto, una cadena descendente de ideales se parece a $I_1/I \supseteq I_2/I \supseteq I_3/I \supseteq \cdots$ donde $I_j$ son ideales de $R$ tal que $I \subseteq I_j$ .

Siguiente, $R$ es un PID por lo que existe $a_j \in R$ tal que $I_j=(a_j)$ y $a \in R$ tal que $I=(a)$ . No olvides $a \not=0$ porque $I \not= \{ 0 \}$ .

¿Qué hace $I \subseteq I_j$ ¿dice? ¿Qué dice el $I_{j+1} \subseteq I_j$ ? Observe que $I \subseteq \cap_{j=0}^\infty I_j$ . Utiliza la factorización única en primos para ver que es imposible una cadena infinita de divisores propios.

Answer 2

Sabemos que un anillo $R$ es artiniano si es noetheriano y cada ideal primo es maximal. Ahora bien, como $R$ es PID, por lo que $R/I$ es PID. Por otra parte, en un anillo PID todo ideal primo es maximal, por lo que el anillo noetheriano $R/I$ es Artinain.