He estado atrapado en esta pregunta por un tiempo bastante largo. Mi maestro dice que debemos encontrar un patrón pequeño, pero no puedo encontrar uno. Puede alguien darme una mano?
Deje $b_n$ el número de enteros positivos cuyos dígitos son todos $1$, $3$, o $4$, y se suman a $n$.
Por ejemplo, $b_5 = 6$, ya que hay seis enteros con la propiedad deseada: $41, 14, 311, 131, 113,$$11111$.
Demostrar que $b_n$ es un cuadrado perfecto si $n$ es incluso.
Primera nota de que desde $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$, tenemos $$ \begin{align} F_n^2 &=F_{n-1}^2+F_{n-2}^2+2F_{n-1}F_{n-2}\\ &=2F_{n-1}^2+2F_{n-2}^2-(F_{n-1}-F_{n-2})^2\\ &=2F_{n-1}^2+2F_{n-2}^2-F_{n-3}^2\tag{1} \end{align} $$ una recursividad de los cuadrados de los números de Fibonacci.
La generación de función de la cantidad de números cuyos dígitos son $1$, $3$, o $4$, y cuyos dígitos suma a $n$ es $$ \frac1{1-x-x^3-x^4}=\sum_{k=0}^\infty\left(x+x^3+x^4\right)^k\etiqueta{2} $$ Para examinar los coeficientes de los poderes de $x$, podemos calcular la parte de la $(2)$: $$ \begin{align} \frac12\left(\frac1{1-x-x^3-x^4}+\frac1{1+x+x^3-x^4}\right) &=\frac{1-x^4}{1-x^2-4x^4-x^6+x^8}\\ &=\frac{1-x^2}{1-2x^2-2x^4+x^6}\tag{3} \end{align} $$ Puesto que el denominador de $(3)$$1-2x^2-2x^4+x^6$, los coeficientes de $x^{2n}$ $(3)$ satisfacer la recursividad $a_n=2a_{n-1}+2a_{n-2}-a_{n-3}$, que es la recursividad $(1)$, satisfecho por los cuadrados de los números de Fibonacci.
Informática el comienzo de la serie de Taylor para $(3)$, obtenemos $$ \frac{1-x^2}{1-2x^2-2x^4+x^6}=1+x^2+4x^4+9x^6+\dots\etiqueta{4} $$ y puesto que los coeficientes de satisfacer $(1)$, que son los cuadrados de los números de Fibonacci.
Una dirección (se los dejo a ustedes para ver a dónde va todo esto) : se puede demostrar que $$ b_{n}=b_{n-1}+b_{n-3}+b_{n-4} $$
con valores iniciales dado por $$ b(1)=1,\, b(2)=1,\, b(3)=2,\, b(4)=4 $$
Podemos ver que esto es cierto, ya que podemos generar una secuencia que añade a $n$ con una secuencia que se suma a $n-1$ con la adición de $1$ el último número en la secuencia (y de manera similar con $b_{n-3},b_{n-4})$, usted puede convencerse de que de esta manera se evita repeticiones en el conteo.
Dado que este es un recursividad lineal podemos resolverlo: tenga en cuenta que $i$ es una raíz del polinomio característico $$ p(x)=x^{4}-x^{3}-x-1 $$
y por lo tanto así es $-i$ y el uso de la división polinómica nos quedamos con una ecuación cuadrática que las raíces son reales y fáciles de encontrar mediante el cuadrática la leche de fórmula. Esto debería al menos dar una fórmula para $b_{n}$. Usted puede, a continuación, tratar de ver si la configuración de $b_{2n}$ en la fórmula se puede escribir como un cuadrado. Valdría la pena señalar que en la expresión para $b_{n}$ tendrá una suma con $$ (i)^{n}+b(-i)^{n} $$
donde $a,b$ será conocido el uso de las condiciones iniciales y el $i^{n}=(-i)^{n}=1$ al $n$ es aún y así esto se va a reducir a $a+b$.
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