Mersenne, Fibonacci... hay otros casos en los que la existencia de un primer implica la existencia de otro primo?

Question

Pensando en por qué parece imposible encontrar un caso en el que la existencia de un primer implica la existencia de otro más grande prime, traté de hacer una lista de casos en los que, sabiendo que un número es primo, a continuación, automáticamente sabemos que el otro es primo. Hasta ahora sólo puedo recordar dos conocidos no trivial situaciones:

1. Los números de Mersenne, si $p=2^n-1$ es primo, a continuación, $n$ es primo así. Lo contrario no es cierto.

2. Los números de Fibonacci, si $p=F_n$ es primo, a continuación, $n$ es primo así. Lo contrario no es cierto.

En ambos casos $n$ es menor que $p$.

Me gustaría hacer las siguientes preguntas:

1. No me olvido más casos?

2. Parece que la existencia de la más grande prime $p$ implica la existencia de la menor prime $n$, pero no puedo recordar los casos en los que una sola (sólo lo necesario) menor prime $n$ implica que un mayor prime $p$ automáticamente existe. Hay artículos sobre esa imposibilidad? Hay tales casos? Gracias!

Actualización 16/02/2016: tan amablemente se explica en los comentarios de @DanielFischer y respuesta de @TitoPiezasIII, hay generalizaciones, tanto de la Mersenne y números de Fibonacci que son también parte de la lista.

Answer 1

Hay un primer generación de la fórmula, pero no una práctica.

Ghandhi la fórmula para el próximo primer: Vamos a $Q$ ser el producto de los números primos menos que el extraño prime $p$.(Si $p=3$ $Q=2.$)$$\text {Let }\quad S=-\frac {1}{2}+\sum_{d|Q}\frac {\mu (d)}{2^d-1}$$ where $\mu$ is the Mobius function.$$\text {Then }\quad 1<2^pS<2.$$ Since $2^{p-1}<1$ and $2<2^{p+1}$ this uniquely defines the natural number $p$.

Para demostrar que escribir cada plazo $\mu (d)/(2^d-1)=\mu (d)\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n d}.$ Recoger poderes de $2$ en la suma de $d|Q.$ Usando la propiedad de $\mu$ que $\sum_{e|n}\mu(e)=0$ $n>1$ obtenemos $$S=\sum_{n\in T}2^{-n}$$ where $T=\{m:m>1\de la tierra \gcd (m,Q)=1\}.$ From the def'n of $Q$ we have $\min T=p$, and all members of $T$ are odd, so $$2^{-p}<S\leq 2^{-p}(1+1/2^2+1/2^4+...)=2^{-p}(4/3)<2^{1-p}.$$

Esto es lo más ineficiente que un camino posible para la generación de números primos.E.g. para encontrar el mínimo de prime mayor que $1,000,000$ con esta fórmula, usted necesita saber todos los números primos menos de $1,000,000$, y la suma de todos los términos en la fórmula. Ya hay alrededor de $72,000$ números primos por debajo de $1,000,000$ esto significa que la adición de aproximadamente $2^{72,000}$ términos $S$.

Answer 2

Parece ser infinitamente más dichas secuencias.

I. Particular

Comenzando con $n=0$, tenga en cuenta que para los números de Fibonacci,

$$F_n = 0,1,1,2,\color{red}3,5,8,13,\dots\tag1$$

y $F_4=3$ sí no tiene un primer índice. De manera similar para el Jacobsthal números,

$$J_n = 0, 1, 1, 3, \color{red}5, 11, 21, 43,\dots\tag2$$

con la excepción similar a $J_4=5$. (Índices para el prime $J_n$ es A107036.). También tenemos los números de Pell,

$$P_n = 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169,\dots\tag3$$

y si $P_n$ es primo, entonces $n$ es primo.

II. General

Si definimos a la primera familia de Lucas secuencia,

$$U_n(P,Q) \equiv \frac{a^n-b^n}{a-b}$$

donde $a,b$ son las raíces de $x^2-Px+Q=0$, entonces,

$$U_n(1,-1) = \text{Fibonacci}\\ U_n(1,-2) = \text{Jacobsthal}\\ U_n(1,-3) = \text{A006130}\\ \vdots\\ U_n(2,-1) = \text{Pell}\\ U_n(3,-1) = \text{A006190}\\\vdots$$

así que presumiblemente por miembros de la familia se comportan de manera similar.