Aproximación de la función exponencial

Question

He encontrado experimentalmente algo que gráficamente parece una aproximación de la función exponencial. Sin embargo, es totalmente experimental y no tengo ni idea de si realmente converge hacia la $\exp$ .

Deja : $$f\left(x,h,c\right)=\left(1+\frac{x}{c^h}\right)^{c^h}\text{(A quite understandable approximation for the exponential function)}$$ $$q\left(x,h,c\right)=\sum \limits_{p=0}^h\frac{c^{\frac{p^2+p}{2}}}{\left(\prod\limits _{i=1}^p\left(c^i-1\right)\right)\prod\limits _{i=1}^{h-p}\left(1-c^i\right)}f\left(x,p,c\right)$$ Mi aproximación es : $$\exp(x)=\underset{h,c\rightarrow+\infty}{\lim}q(x,h,c)$$

Desmos muestra que es realmente cerca de $1$ y que para la baja $h,c$ empieza a divergir después (pero esto podría deberse a errores de cálculo en números enormes (?) ).

¿Es una aproximación conocida para la exponencial? Si no es así, ¿es una aproximación de la exponencial en absoluto?

Pregunta adicional que se desprende de los comentarios : ¿Cómo puede el comportamiento para la baja $h,c$ ¿se analizará?

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Si te preguntas de dónde sale esa fórmula, no puedo dar una explicación completa (es un trabajo realmente experimental) pero quizás te interese una de mis preguntas anteriores Una expresión para $U_{h,0}$ dado $U_{n,k}=\frac{c^n}{c^n-1}(U_{n-1,k+1})-\frac{1}{c^n-1}(U_{n-1,k})$ .

Answer 1

Como se muestra en la ecuación $(6)$ de esta respuesta , $$ \prod_{k=1}^h\frac{c^kx-1}{c^k-1}=\sum_{p=0}^h\frac{\displaystyle c^{p(p+1)/2}}{\displaystyle\prod_{k=1}^p(c^k-1)\prod_{k=1}^{h-p}(1-c^k)}x^p\tag{1} $$ Enchufando $x=1$ en $(1)$ , obtenemos que $$ \sum_{p=0}^h\frac{\displaystyle c^{p(p+1)/2}}{\displaystyle\prod_{k=1}^p(c^k-1)\prod_{k=1}^{h-p}(1-c^k)}=1\tag{2} $$ Para $x\ge0$ , $0\le e^x-\left(1+\frac xn\right)^n\le\dfrac{x^2e^x}{2n}$ . Por lo tanto, $$ \begin{align} |e^x-f(x,p,c)| &=\left|\,e^x-\left(1+\frac{x}{c^p}\right)^{c^p}\,\right|\\ &\le\frac{x^2e^x}{2}c^{-p}\tag{3} \end{align} $$ Dado que los coeficientes de $x^p$ en $(1)$ signo alternativo, obtenemos $$ \begin{align} &\left|\,e^x-\sum_{p=0}^h\frac{\displaystyle c^{p(p+1)/2}}{\displaystyle\prod_{k=1}^p(c^k-1)\prod_{k=1}^{h-p}(1-c^k)}f(x,p,c)\,\right|\\[6pt] &=\left|\,\sum_{p=0}^h\frac{\displaystyle c^{p(p+1)/2}}{\displaystyle\prod_{k=1}^p(c^k-1)\prod_{k=1}^{h-p}(1-c^k)}(e^x-f(x,p,c))\,\right|\tag{4}\\[6pt] &\le\frac{x^2e^x}{2}\left|\,\sum_{p=0}^h\frac{\displaystyle c^{p(p+1)/2}}{\displaystyle\prod_{k=1}^p(c^k-1)\prod_{k=1}^{h-p}(1-c^k)}\left(-\frac1c\right)^p\,\right|\tag{5}\\[18pt] &=\frac{x^2e^x}{2}\prod_{k=1}^h\frac{c^{k-1}+1}{c^k-1}\tag{6} \end{align} $$ Explicación:
$(4)$ : aplicar $(2)$
$(5)$ : uso $(3)$
$(6)$ : aplicar $(1)$

Tanto en el caso de un $c\gt1$ como $h\to\infty$ y un fijo $h\ge1$ como $c\to\infty$ , $(6)$ desaparece.