¿Cuáles son algunos ejemplos de notación que realmente mejoraron las matemáticas?

Question

Siempre he pensado que la naturaleza concisa y sugerente del lenguaje escrito de las matemáticas es una de las razones por las que puede ser tan poderoso. Se me ocurren unas cuantas convenciones notacionales que simplifican los enunciados de los problemas y las ideas (todas ellas son casi omnipresentes hoy en día):

• $\binom{n}{k}$
• $\left \lfloor x \right \rfloor$ y $\left \lceil x \right \rceil$
• $\sum f(n)$
• $\int f(x) dx$
• $[P] = \begin{cases} 1 & \text{if } P \text{ is true;} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

El último es el Soporte Iverson . Se puede encontrar un ejemplo motivador para el uso de esta notación aquí .

¿Cuáles son otros ejemplos de notación que realmente han mejorado las matemáticas a lo largo de los años? Tal vez también sea oportuno preguntarse qué problemas de notación existen hoy en día en las matemáticas.

EDITAR (11/7/13 4:35 PM): Se me acaba de ocurrir, pero la introducción del sistema de coordenadas cartesianas para el trazado de funciones fue una mejora ENORME. No creo que esto esté fuera de los límites de mi pregunta original y tenga en cuenta que estoy considerando el objeto gráfico real aquí y no el uso de $(x,y)$ para denotar un punto en el plano.

Answer 1

Notación vectorial El hecho de poder escribir $$\vec{a}\cdot\vec{b}$$ En lugar de: $$a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots$$ O que puede utilizar operadores vectoriales como $\vec\nabla$ El libro de Maxwell, que se ha convertido en una obra de arte, ha contribuido realmente a desarrollar el álgebra lineal y su uso en los campos aplicados. Por señalar un ejemplo famoso, las ecuaciones originales de Maxwell ocupan una página entera.

$\quad\quad\quad\quad\quad$

Y aquí está lo mismo usando la notación vectorial para comparar:

$$\boxed{\begin{align}\\\,\\\qquad&\qquad\nabla\cdot\mathbf D=\rho&&\text{(1)} \qquad\qquad\text{Gauss' law}&\\\,\\ \qquad&\qquad\nabla\cdot\mathbf B=0&&\text{(2)}\quad\text{Gauss' law for magnetism}&\\\,\\ \qquad&\,\,\,\nabla\times\mathbf E=-\dfrac{\partial\mathbf B}{\partial t}&&\text{(3)}\qquad\quad\,\text{Faraday's law}&\\\,\\ \qquad&\,\nabla\times\mathbf H=\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial t}+\mathbf J&&\text{(4)}\qquad\text{Ampère-Maxwell law}\qquad\\\,\\ \end{align}}\\\,\\\textit{Maxwell's equations in vector form}$$

(Imagen de la página web del IEEE página de historia )

Answer 2

Notación algebraica con letras en lugar de descripciones verbales para cantidades que no se conocen explícitamente. El paso de la matemática retórica a la sincopada y luego a la simbólica tuvo un enorme impacto en las matemáticas, ya que permitió enunciar reglas y algoritmos con mayor generalidad.

Answer 3

Yo sugeriría la invención de Gauss de la notación para las congruencias en la aritmética modular:

"La invención de [la notación de congruencia] por Gauss ofrece una sorprendente ejemplo de las ventajas que pueden derivarse de una de una notación adecuada, y marca una época en el desarrollo de la ciencia aritmética".

G. B. Matthews (1861-1922)

Editar:

Para quien no esté seguro de cuál es la notación real:

$$a \equiv b \pmod{k}$$ significa que $a$ y $b$ dan el mismo resto en la división por $k$ o, en su defecto, que $a-b$ es divisible por $k$ .

Answer 4

Notación Landau para describir el comportamiento asintótico de una función:

$$O(n)\quad o(\log n)\quad \Omega(n!)\quad \Theta(2^n) \quad \dots$$

Answer 5

La notación sumatoria de Einstein realmente ayudó a simplificar las cosas en áreas de álgebra lineal aplicada a la física y a la geometría diferencial.

Por ejemplo:

$$ y = \sum_{i=1}^3 c_i x^i = c_1 x^1 +c_2 x^2 + c_3 x^3 $$

podría escribirse como

$$ y = c_i x^i $$

donde los índices inferior y superior implican "suma sobre $i$ ".