Si cada término de una suma converge, ¿converge también la suma infinita?

Question

Dejemos que $S(x) = \sum_{n=1}^\infty s_n(x)$ donde los términos de valor real satisfacen $s_n(x) \to s_n$ como $x \to \infty$ para cada $n$ .

Supongamos que $S=\sum_{n=1}^\infty s_n< \infty$ .

¿Se deduce que $S(x) \to S$ como $x \to \infty$ ?

Realmente no recuerdo ningún teorema... ¡¡¡Por favor, indíquelo!!!

Answer 1

Un ejemplo convergente: $$ \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{x+n} + \frac{1}{x-n} \right) = \pi\cot{\pi x}-\frac{1}{x}, $$ y la convergencia es uniforme en intervalos cerrados que no contienen puntos enteros.

Es evidente que toda función en la suma tiende a $0$ como $x \to \infty$ pero la suma total no.

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Editar: Un ejemplo aún mejor, tal vez: establecer $$ s_n(x) = \chi_{[n,n+1)}(x), $$ es decir $1$ para $n \leqslant x < n+1$ y $0$ de lo contrario. Está claro que $s_n(x) \to 0$ como $x \to \infty$ pero también está claro, ya que todo número real está precisamente en un intervalo de la forma $[n,n+1)$ que $$ \sum_{n=-\infty}^{\infty} s_n(x)=1. $$

Answer 2

Esto no es cierto. Considere $s_n(x) = 1/x$ . Tenemos $\lim_{x \to \infty} s_n(x) = 0 = t_n$ . Claramente, $\sum_{n=1}^{\infty} t_n =0 < \infty$ . Sin embargo, $$S_n(x) = \sum_{k=1}^n s_n(x) = \dfrac{n}x$$ y $\lim_{n \to \infty} S_n(x)$ no existe.

Answer 3

Como otros han mencionado, esto no es cierto en general. Pero hay un caso muy importante en el que es cierto: las series de potencias. El teorema de Abel dice que si $S(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ y $S(1)$ converge, entonces $\lim_{x \to 1-} S(x) = S(1)$ .

Ya que está interesado en $x \to \infty$ Esto requerirá una transformación para aplicarlo a su caso. Por lo tanto, tome alguna función creciente $g: [0,\infty) \to \mathbb R$ tal que $\lim_{x \to \infty} g(x) = L > 0$ existe, y una serie de la forma $S(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n g(x)^n$ . Si $S = \sum_{n=0}^\infty a_n L^n$ converge, entonces $\lim_{x \to \infty} S(x) = S$ .

Answer 4

También se pueden encontrar ejemplos en los que todas las series son convergentes, pero no se puede pasar al límite. Prueba esto: $$ s_n(x)= \begin{cases} 1, & n=[x] \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$ Aquí $[x]$ es el función del suelo o del techo (elige el que más te guste, no importa).

Para garantizar que se puede pasar al límite bajo la suma se necesitan algunas propiedades extra sobre la convergencia de $s_n(x)$ .

Answer 5

No.

Dejemos que $s_n(x)=\frac 1x$ , $s_n=0$ . Entonces $S=\sum_{n=1}^\infty s_n$ converge trivialmente. Sin embargo, $S(x)=\sum_{n=1}^\infty s_n(x)$ es claramente divergente, ya que el sumando es una constante (con respecto a $n$ ) mayor que $0$ .