Cómo obtener la desigualdad$\int |f|^2\log(|f|) \leq \frac{n}{4}\log\lVert f \rVert^2_{L^p} $ de la desigualdad de Jensen?

Question

Deje$f$ como función positiva con$\lVert f \rVert_{L^2}=1$. Dejar $p= 2n/(n-2)$.

Cómo obtener$\int |f|^2\log(|f|) \leq \frac{n}{4}\log\lVert f \rVert^2_{L^p}$ de la desigualdad de Jensen?

Aquí todas las normas y las integrales son más de un compacto colector$M$ de la dimensión$n$.

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Para el contexto: esto es una parte de una prueba de la desigualdad de Sobolev logarítmica. La desigualdad en el registro de Sobolev sigue estimando el lado derecho de$C\int |\nabla f|^2$.

Answer 1

Por la desigualdad de Jensen$\int |f|^2 \log |f|=\int |f|^2 \cdot \frac{1}{p-2}\log |f|^{p-2} = \frac{1}{p-2}\cdot\int |f|^2\log |f|^{p-2} \leq \frac{1}{p-2}\log (\int |f|^{p-2}\cdot |f|^2) = \frac{1}{p-2}\cdot \frac{p}{2}\log (\int|f|^p)^\frac{2}{p}=\frac{1}{p-2}\cdot \frac{p}{2} \log ||f||_p^2$

porque sí $\frac{1}{p-2}=\frac{n-2}{4}, \frac{p}{2}=\frac{n}{n-2},$. Hemos terminado.