Así que tuvimos una discusión interesante el otro día sobre 0.999 ... repite hasta el infinito, en realidad es igual a uno. Entiendo la prueba, pero me pregunto entonces si tiene que la función ...
$$ F (x) = x * \ frac {(x-1)} {(x-1)} $$
así $$ f (1) = NaN $$
y $$ \ lim_ {x \ 1} f (x) = 1 $$ ¿cuál sería el siguiente ser igual?
$$ F (0. \ overline {999}) =? $$
Por definición de lo que significa la notación decimal, $$ 0. \ overline 9 = \ sum_ {k = 1} ^ \ infty9 \ times10 ^ {- k} = 9 \ sum_ {k = 1} ^ \ infty10 ^ {- k} . $$ Ahora, usando la fórmula básica para la serie geométrica, $$ 0. \ overline 9 = 9 \ sum_ {k = 1} ^ \ infty10 ^ {- k} = 9 \, \ frac {10 ^ {- 1}} {1-10 ^ {- 1}} = 9 \, \ frac {\ frac1 {10}} {1- \ frac1 {10}} = 9 \, \ frac {1} {10-1} = 1. $$
Así, frente a su pregunta original, su$f$ no se define en$1$, por lo que$f(0.\overline 9)$ no tiene ningún sentido.
Si bien es cierto que$0.\overline{9}=\lim_{x\to 1} x=1$, en el caso de que no se puede mover el límite de$f$ para obtener$$\lim_{x\to 1}f(x)=f(1)$ $ desde el lado derecho no está definido. En general, es posible mover el límite de fuera de la función que dentro de la función sólo si la función en cuestión es continua en el punto en el que está tomando el límite.
Si$0.\overline9=1$ #%% luego #% es tan indefinido como$f(0.\overline9)$ es. Sin embargo efectivamente$f(1)$ como usted ha dicho.
La razón de lo anterior es simple. Si$\lim_{x\to 1}f(x)=1$ y$a$ son dos términos, y$b$ #%% luego #%, sin tener en cuenta a qué$a=b$ es o cuáles son los términos reales. Una vez que usted estuvo de acuerdo que$f(a)=f(b)$ tenemos que tener$f$.
La respuesta es que $$0.\overline{9} = 1.$$ So when you want to find $f(0.\overline{9})$ then that is the exact same as writing $f(1)$, que no está definido.
Acerca de la función de $f$: Como acabamos de señalar, $f(1)$ no está definido. Sin embargo, como señalan $\lim_{x\to 1} f(x)$ está definido y es igual a $1$. Si usted está interesado, el hecho de que $f$ no está definido significa que $f$ no es continua en a $1$.
Para responder concretamente a la pregunta del título, que de hecho tiene que, $$0.\overline{9} = \lim_{x\to 1} x$$
Nota al margen: Cuando usted escribe $0.\overline{999}$ sólo se pueden escribir $0.\overline{9}$. Son la misma cosa.
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