grupo fundamental de la verdadera$3\times 3$ matrices con rango$1$

Question

En "Manetti - Topologia" hay el siguiente ejercicio:

Calcular el grupo fundamental de la real $3\times 3$ matrices con rango de $1$.

Él sugiere para mostrar que no es una cubierta mapa de grado $2$ entre el espacio total $E=S^{2} \times (\mathbb{R}^{3}\smallsetminus \{0\})$ y la base del espacio de $X=\mathcal{M}(3,\mathbb{R})$ con rango de $1$.

Creo $p: E \mapsto X$ envía un vector y su vector unitario en una matriz cuyas columnas son múltiplos de este vector, pero no puedo demostrar que este mapa tiene un grado $2$.

¿Cómo puedo resolver este ejercicio?

Answer 1

He resuelto este ejercicio: sabemos que$X=\mathfrak{M}(3,\mathbb{R})$ con rango$1$ es de la forma$\{uv^{T}, u,v \in \mathbb{R}^3, u,v \ne 0\}.$ Observamos también que la elección$\lambda \in \mathbb{R}^{*}$, tenemos $$ uv ^ T = \ lambda u \ frac {1} {\ lambda} v ^ T, $$ para que podamos tomar$u \in S^2$ y$v \in \mathbb{R}^3 \setminus \{0\}$. De esta manera, podemos definir el mapa de cobertura$p: E \mapsto X$ como la indirecta del libro.