Últimamente he estado pensando acerca de conmutador fórmulas, provocada por leer el siguiente párrafo en Isaacs (p.125):
Una increíble colector fórmula es la Sala-Witt identidad: $$[x,y^{-1},z]^y[y,z^{-1},x]^z[z,x^{-1},y]^x=1,$$ which holds for any three elements of every group. $\ldots$ One can think of the Hall-Witt formula as a kind of three-variable version of the much more elementary two-variable identity, $[x,y][y,x]=1$. Esta observación sugiere la posibilidad de que un correspondiente de cuatro variables de la fórmula podría existir, pero si hay cuatro variables de identidad, que todavía no se ha descubierto.
A mi conocimiento una de cuatro variables de la fórmula no ha sido descubierto desde que esto fue escrito. Estaba pensando en esto y me encontré incapaz de decidir si o no, yo pensaba que uno podía existir (es decir, si uno podría, hipotéticamente, tratar de encontrar una identidad o refutar su existencia). Por lo tanto, estoy tratando de "escribir el problema".
Cómo puede uno rigurosamente formular la pregunta, "¿un cuatro-variable analógica de la Sala-Witt identidad de existir?"
Vamos a empezar por la forma explícita de hacer el grupo libre en $ letters. Suppose we have a free generating set $A=\{a,b,c,d\}$, so that $S=A\cup A^{-1}$ and $A^{-1}=\{a^{-1},b^{-1},c^{-1},d^{-1}\}$. Let $F_A$ the group of all reduced words in $S$. Words are reduced when they have been can no longer be simplified by cancelling adjacent $x$ and $x^{-1}$s (for $x\in A$).
Cíclicamente reducido palabras son palabras, donde la primera y la última letras no son inversos el uno al otro. Cada palabra es conjugado a un cíclicamente de la reducción de palabra, por lo que podemos considerar $\hat{F_A}$, the quotient of $F_A$ por la relación de equivalencia de ser cíclicamente reducido. (Tenga en cuenta que este es no de la relación de equivalencia de ser conjugado.)
Deje $\Phi$ be the set of functions $\varphi:A^4\rightarrow \hat{F_A}$ defining words in $\hat{F_A}$ that contain at least one instance of each free generator or its inverse. Now let $\Psi:\Phi\rightarrow \hat{F_A}$ be formally defined by $$\Psi(\varphi)(u,x,y,z)=\varphi(u,x,y,z)\varphi(x,y,z,u)\varphi(y,z,u,x)\varphi(z,u,x,y).$$ Por lo tanto, si una $-variable Hall-Witt identity exists, it will be among the functions in the preimage of $$ Let's chop $W(a,b,c)$ in half and name the two parts. Define $$w_1(a,b,c)\triangleq a^{-1}b^{-1}ac^{-1}a^{-1} \hspace{30pt} \text{and} \hspace{30pt} w_2(a,b,c)\triangleq bab^{-1}cb,$$ so that $$W(a,b,c)=w_1(a,b,c)w_2(a,b,c).$$ Now, the Hall-Witt Identity can be written as $$W(x,y,z)W(y,z,x)W(z,x,y)=1,$$ that is, $$\overbrace{\underbrace{x^{-1}y^{-1}xz^{-1}x^{-1}}_{w_1(x,y,z)}\underbrace{yxy^{-1}zy}_{w_2(x,y,z)}}^{W(x,y,z)} \overbrace{\underbrace{y^{-1}z^{-1}yx^{-1}y^{-1}}_{w_1(y,z,x)}\underbrace{zyz^{-1}xz}_{w_2(y,z,x)}}^{W(y,z,x)} \overbrace{\underbrace{z^{-1}x^{-1}zy^{-1}z^{-1}}_{w_1(z,x,y)}\underbrace{xzx^{-1}yx}_{w_2(z,x,y)}}^{W(z,x,y)} =1.$$$ (the function which just maps everything to the empty word) under $\Psi$.
Pregunta: Suponiendo que la anterior formulación es el sonido, ¿existe un (trivial) de cuatro variables analógicas a la Sala-Witt identidad? Puede este enfoque se utiliza para refinar más la pregunta?
Mi uso de "trivial" de arriba es un tanto ambigua: lo que quiero decir es que la identidad debe ser hecha con los conmutadores y conjugaciones en un conjunto gratuito de cuatro letras, y lo ha hecho de una manera que no se reduce a la de dos o tres variables colector identidades por una sustitución.
Progreso.
Deje que $$\begin{eqnarray*} W(a,b,c) & \triangleq & [a,b^{-1},c]^b \\ &=& b^{-1}[a,b^{-1}]^{-1}c^{-1}[a,b^{-1}]cb\\ &=&a^{-1}b^{-1}ac^{-1}a^{-1}bab^{-1}cb.\end{eqnarray*}$w_1(b,c,a)=w_2(a,b,c)^{-1}$. This makes sense: we should be able to cyclically permute the overall word and have it still work, since ^a=1$. So, what we should be looking for are four letter strings $w_1$ and $w_2$ such that $w_1(a,b,c,d)$ is the inverse of $w_2(b,c,d,a)$ Es claro que la cancelación de las obras por $W(a,b,c,d)$ would be split into three subwords, rather than two: $$W(a,b,c,d)=w_1(a,b,c,d)w_2(a,b,c,d)w_3(a,b,c,d).$$ We would in this case have to insist that $$w_3(a,b,c,d)=w_1(b,c,d,a)^{-1}\hspace{14pt}\text{ and }\hspace{14pt}w_2(a,b,c,d)=w_2(b,c,d,a)^{-1}.$$ After the $w_1$'s and $w_3$'s cancelled out, we'd be left with $$w_2(x,y,z,u)w_2(y,z,u,x)w_2(z,u,x,y)w_2(u,x,y,z)=1.$$ But of course asking whether that that can happen is the same as asking whether $W$ can exist, so eventually we will see a separation into two subwords, or we have a contradiction by infinite descent. If we divided up $W(a,b,c,d)$ into $n>3$ subwords, we would reduce in the case of odd $n$ to the case of a self-inverse word analogously to the $n=3$ case, or we would have an even number of subwords, which is the same thing as the $.
Actualización: De hecho, la observación anterior no es suficiente, pero es necesario para la existencia de cuatro variables Salón-Witt identidad. Consideremos por ejemplo el caso en que $W(a,b,c,d)=w_1(a,b,c,d)w_2(a,b,c,d)$, nontrivial in each variable, such that $w_1(a,b,c,d)=w_2(b,c,d,a)^{-1}$ subword caso.
Así, basta con encontrar una palabra %#%#%, o para probar que tal palabra no existe.