Hace cuatro variables analógicas de la Sala-Witt identidad existen?

Question

Últimamente he estado pensando acerca de conmutador fórmulas, provocada por leer el siguiente párrafo en Isaacs (p.125):

Una increíble colector fórmula es la Sala-Witt identidad: $$[x,y^{-1},z]^y[y,z^{-1},x]^z[z,x^{-1},y]^x=1,$$ which holds for any three elements of every group. $\ldots$ One can think of the Hall-Witt formula as a kind of three-variable version of the much more elementary two-variable identity, $[x,y][y,x]=1$. Esta observación sugiere la posibilidad de que un correspondiente de cuatro variables de la fórmula podría existir, pero si hay cuatro variables de identidad, que todavía no se ha descubierto.

A mi conocimiento una de cuatro variables de la fórmula no ha sido descubierto desde que esto fue escrito. Estaba pensando en esto y me encontré incapaz de decidir si o no, yo pensaba que uno podía existir (es decir, si uno podría, hipotéticamente, tratar de encontrar una identidad o refutar su existencia). Por lo tanto, estoy tratando de "escribir el problema".

Cómo puede uno rigurosamente formular la pregunta, "¿un cuatro-variable analógica de la Sala-Witt identidad de existir?"

Vamos a empezar por la forma explícita de hacer el grupo libre en $letters. Suppose we have a free generating set$A=\{a,b,c,d\}$, so that$S=A\cup A^{-1}$and$A^{-1}=\{a^{-1},b^{-1},c^{-1},d^{-1}\}$. Let$F_A$ the group of all reduced words in $S$. Words are reduced when they have been can no longer be simplified by cancelling adjacent $x$ and $x^{-1}$s (for $x\in A$).

Cíclicamente reducido palabras son palabras, donde la primera y la última letras no son inversos el uno al otro. Cada palabra es conjugado a un cíclicamente de la reducción de palabra, por lo que podemos considerar $\hat{F_A}$, the quotient of $F_A$ por la relación de equivalencia de ser cíclicamente reducido. (Tenga en cuenta que este es no de la relación de equivalencia de ser conjugado.)

Deje $\Phi$ be the set of functions $\varphi:A^4\rightarrow \hat{F_A}$ defining words in $\hat{F_A}$ that contain at least one instance of each free generator or its inverse. Now let $\Psi:\Phi\rightarrow \hat{F_A}$ be formally defined by $$\Psi(\varphi)(u,x,y,z)=\varphi(u,x,y,z)\varphi(x,y,z,u)\varphi(y,z,u,x)\varphi(z,u,x,y).$$ Por lo tanto, si una $-variable Hall-Witt identity exists, it will be among the functions in the preimage of$$Let's chop$W(a,b,c)$in half and name the two parts. Define$$w_1(a,b,c)\triangleq a^{-1}b^{-1}ac^{-1}a^{-1} \hspace{30pt} \text{and} \hspace{30pt} w_2(a,b,c)\triangleq bab^{-1}cb,$$so that$$W(a,b,c)=w_1(a,b,c)w_2(a,b,c).$$Now, the Hall-Witt Identity can be written as$$W(x,y,z)W(y,z,x)W(z,x,y)=1,$$that is,$$\overbrace{\underbrace{x^{-1}y^{-1}xz^{-1}x^{-1}}_{w_1(x,y,z)}\underbrace{yxy^{-1}zy}_{w_2(x,y,z)}}^{W(x,y,z)} \overbrace{\underbrace{y^{-1}z^{-1}yx^{-1}y^{-1}}_{w_1(y,z,x)}\underbrace{zyz^{-1}xz}_{w_2(y,z,x)}}^{W(y,z,x)} \overbrace{\underbrace{z^{-1}x^{-1}zy^{-1}z^{-1}}_{w_1(z,x,y)}\underbrace{xzx^{-1}yx}_{w_2(z,x,y)}}^{W(z,x,y)} =1.$$$ (the function which just maps everything to the empty word) under $\Psi$.

Pregunta: Suponiendo que la anterior formulación es el sonido, ¿existe un (trivial) de cuatro variables analógicas a la Sala-Witt identidad? Puede este enfoque se utiliza para refinar más la pregunta?

Mi uso de "trivial" de arriba es un tanto ambigua: lo que quiero decir es que la identidad debe ser hecha con los conmutadores y conjugaciones en un conjunto gratuito de cuatro letras, y lo ha hecho de una manera que no se reduce a la de dos o tres variables colector identidades por una sustitución.

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Progreso.

Deje que $$\begin{eqnarray*} W(a,b,c) & \triangleq & [a,b^{-1},c]^b \\ &=& b^{-1}[a,b^{-1}]^{-1}c^{-1}[a,b^{-1}]cb\\ &=&a^{-1}b^{-1}ac^{-1}a^{-1}bab^{-1}cb.\end{eqnarray*}$w_1(b,c,a)=w_2(a,b,c)^{-1}$. This makes sense: we should be able to cyclically permute the overall word and have it still work, since ^a=1$. So, what we should be looking for are four letter strings $w_1$ and $w_2$ such that $w_1(a,b,c,d)$ is the inverse of $w_2(b,c,d,a)$ Es claro que la cancelación de las obras por $W(a,b,c,d)$ would be split into three subwords, rather than two:$$ W(a,b,c,d)=w_1(a,b,c,d)w_2(a,b,c,d)w_3(a,b,c,d). $$We would in this case have to insist that$$ w_3(a,b,c,d)=w_1(b,c,d,a)^{-1}\hspace{14pt}\text{ and }\hspace{14pt}w_2(a,b,c,d)=w_2(b,c,d,a)^{-1}. $$After the $w_1$'s and $w_3$'s cancelled out, we'd be left with$$ w_2(x,y,z,u)w_2(y,z,u,x)w_2(z,u,x,y)w_2(u,x,y,z)=1.$$ But of course asking whether that that can happen is the same as asking whether $W$ can exist, so eventually we will see a separation into two subwords, or we have a contradiction by infinite descent. If we divided up $W(a,b,c,d)$ into $n>3$ subwords, we would reduce in the case of odd $n$ to the case of a self-inverse word analogously to the $n=3$ case, or we would have an even number of subwords, which is the same thing as the $.

Actualización: De hecho, la observación anterior no es suficiente, pero es necesario para la existencia de cuatro variables Salón-Witt identidad. Consideremos por ejemplo el caso en que $W(a,b,c,d)=w_1(a,b,c,d)w_2(a,b,c,d)$, nontrivial in each variable, such that $w_1(a,b,c,d)=w_2(b,c,d,a)^{-1}$ subword caso.

Así, basta con encontrar una palabra %#%#%, o para probar que tal palabra no existe.

Answer 1

$\renewcommand{\mod}[1]{~(\text{mod $#1$})} \newcommand{congr}{\equiv}$La última instrucción en la pregunta (que no es una mera cuestión) también sugiere una solución al problema más general, es decir, el $n$-variable analog of the Hall-Witt formula for any $n\geq 2$.

Deje $x_1$, $\ldots$, $x_n$ ser las variables. Si $w=w(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ is any word in $x_i$'s y sus inversos, definir la palabra " % # % # % por $\gamma w$, y establecer $(\gamma w)(x_1,x_2,\ldots,x_n):=w(x_2,\ldots,x_n,x_1)$. Entonces $W:=w(\gamma w)^{-1}$ El requisito de que $$W(\gamma W)\cdots(\gamma^{n-1}W)=1~.$$ es trivial en cada variable es fácilmente satisfecho. De esta manera, se puede producir $W$-variable análogos de la Sala-Witt fórmula por carga de camión.

Para hacer las cosas más interesantes, se puede requerir, decir, que $n$ debe ser representable por una expresión construido a partir de las variables y sus inversos (los 'tokens') haciendo conmutadores $W$, donde $[u,v]$ ya están construidas las expresiones, y por la conjugación $u$ and $v$, donde $u^y$ es un símbolo (token); a continuación, el requisito es que el $u$ is an already built expression, but not a token, and $y$ para una expresión construida de esta manera que no es un solo token. Ahora las cosas no son tan simples. Estoy muy equivocados al suponer que, de hecho, había algunas condiciones adicionales en la mente cuando formuló su pregunta?

No tengo idea de cómo ir sobre la búsqueda de un ejemplo para $W=u$ o probar que no existe. La única (más débil) la restricción en la palabra $n=4$ me he encontrado hasta ahora es $w$, donde $l_1=l_2=\cdots=l_n$ es la suma de los exponentes de las apariciones de la $l_i$.

Si se relaja la condición impuesta en $x_i^{\pm1}$ in $w$ y sólo requieren que $W$, donde $W\in[G,G]$, entonces se puede dar la solución completa del problema, puesto que para cada $G$ is the free group generated by the variables $x_1$, $\ldots$, $x_n$ si y sólo si $w\in G$ we have $w(\gamma w)^{-1}\in[G,G]$. Aquí $l_1(w)=l_2(w)=\cdots=l_n(w)$ que envía a $\gamma$ is the automorphism of $G$. También debemos decir que las funciones $x_i$ to $x_{i+1}$ for \leq i<n$, and sends$x_n$to$x_1$están definidos. Deje$l_i: G\to\mathbb{Z}$, y deje$A$be the free abelian (additive) group generated by$x_1$,$\ldots$,$x_n$ser el homomorphism el envío de$h\colon G\to A$; tenga en cuenta que$x_i\in G$to$x_i\in A$for \leq i\leq n$. Para cada $\ker h=[G,G]$'s.

Por ejemplo, si $w\in G$ we have $h(w)=\sum_{i=1}^n l_i(w)x_i$: this defines the $l_i$, a continuación,$w=x_1^{-1}x_2^{-1}\cdots x_{n-1}^{-1}x_n^{-1}$. Al $W=w(\gamma w)^{-1}=[x_1,x_nx_{n-1}\cdots x_2]$ obtenemos la identidad $$[x,zy][y,xz][z,yx]=1~,$$ que es un humilde primo de la Sala-Witt fórmula, y es, probablemente, bastante inútil (niza).
Si usted lo desea puede reescribir $n=3$ como producto de la iteración conmutadores, $W=[x,zy]=x^{-1}y^{-1}z^{-1}xzy$, o tal vez en la forma bien conocida $W=[x,y][x,z][[x,z],y]$. (Marcos que aquí $W=[x,y][x,z]^y$; algunos autores definen el colector como $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$.) Tenga en cuenta que el ejemplo $[x,y]:=xyx^{-1}y^{-1}$ proporcionado por weux082690 ha $w=w_1(a,b,c,d)=a^{-1}bc^{-1}b^{-1}dad^{-1}$, por lo tanto $l_a(w)=l_b(w)=l_d(w)=0$ but $l_c(w)=-1$.

Por una especie de retrógrada progreso, volvamos al principio. Vamos a probar lo siguiente:

Deje $w(\gamma w)^{-1}\notin[G,G]$, y deje $G$ be the free group with the free generators $x_1$, $\ldots$, $x_n$, $n\geq 2$ ser el automorphism de $\gamma$ que gira los generadores de un lugar a la derecha, es decir, $G$. A continuación, $\gamma x_i=x_{i+1}$ for \leq i<n$and$\gamma x_n=x_1$iff existe$g\in G$has the property that$g(\gamma g)\cdots(\gamma^{n-1}g)=1$.

Prueba. $h\in G$ such that $g=h(\gamma h)^{-1}$La suficiencia es clara.

El estado de necesidad. Deje $~$, y deje $T$ be the set of 'tokens' $\{x_1,x_1^{-1},\ldots,x_n,x_n^{-1}\}$; el elemento neutro de $T^*$ denote the free monoid (of 'words') generated by $T$. A continuación, $T^*$ is the empty word $\varepsilon$ generado por $G=T^*/{\sim}$, where $\sim$ is the congruence on the monoid $T^*$. La clase de equivalencia de la palabra vacía es la identidad multiplicativa de la libre grupo: $x_i^\alpha x_i^{-\alpha}\sim\varepsilon$, \leq i\leq n$,$\alpha=\pm1$. Cada clase de equivalencia$\varepsilon/{\sim}=1_G=1$que no contiene ningún par consecutivo de tokens que son inversos el uno del otro. Dada una palabra$g\in G$contains a unique reduced word$\varrho(g)$en varias ocasiones la aplicación de las reducciones$w\in T^*$, we obtain the reduced word$\varrho(w/{\sim})$,$ux_i^{\alpha}x_i^{-\alpha}v\to uv$; es fácil comprobar que este sistema de reducciones a nivel local es confluente, por lo tanto se tiene la Iglesia-Rosser propiedad, y así, en realidad hay un único reducción de palabra en cada clase de equivalencia. La rotación \leq i\leq n$, $\alpha=\pm1$, $u,v\in T^*$ de los generadores induce la doble rotación de tokens (la rotación de las fichas con el exponente $\gamma$ y también la rotación de los tokens con el exponente $); el automorphism de la libre monoid$-1$determinado por esta doble rotación todavía podemos denotar por$T^*$.$\gamma$. Denotamos por a$\quad$Let$w=x_{i_1}^{\alpha_1}x_{i_2}^{\alpha_2}\cdots x_{i_m}^{\alpha_m}\in T^*$. Para cada una de las$|w|$the length$m$of the word$w$la suma de los exponentes de todos los tokens$i$, \leq i\leq n$, we denote by $l_i(w)$, y por $x_i^{\pm1}$ appearing in $w$ se denota la suma de todos los exponentes $l(w)$. Siempre $\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_m=l_1(w)+\cdots+l_n(w)$, porque cada término en $|w|\congr l(w)\mod{2}$ es el éter $|w|-l(w)=(1-\alpha_1)+(1-\alpha_2)+\cdots+(1-\alpha_m)$. Para cada una de las $i$, \leq i\leq n$, we have$l_i(uv)=l_i(u)+l_i(v)$for all$u,v\in T^* $$or $, y $l_i(w)$ is constant on every equivalence class $g\in G$. $\quad$Now suppose that $g\in G$ tiene la propiedad de $g(\gamma g)\cdots(\gamma^{n-1} g)=1$, y deje $w:=\varrho(g)$. A continuación,$l_n(w)+l_n(\gamma w)+\cdots+l_n(\gamma^{n-1} w)=l_n(\varepsilon)=0$; desde $l_n(\gamma w)=l_{n-1}(w)$, $\ldots$, $l_n(\gamma^{n-1} w)=l_1(w)$ tenemos $l(w)=l_1(w)+\cdots+l_n(w)=0$, por lo tanto, la palabra $w$ is of even length, $|w|=2k$. Hemos dividido la palabra $w$ as $w=w_1w_2$, where $|w_1|=|w_2|=k$. Estamos suponiendo que la $k>0$, since the case $k=0$ es trivial. El proceso de reducción se debe reducir la palabra$$ W := w_1w_2(\gamma w_1)(\gamma w_2)(\gamma^2w_1)(\gamma^2w_2)\cdots (\gamma^{n-1}w_1)(\gamma^{n-1}w_2) $$ a la palabra vacía. Ya que las palabras $w_1w_2$, $(\gamma w_1)(\gamma w_2)$, $\ldots$, $(\gamma^{n-1}w_1)(\gamma^{n-1}w_2)$ se reducen, los únicos lugares en la palabra $W$ cuando la reducción se puede aplicar en los puntos de contacto entre las subpalabras $w_2$ and $\gamma w_1$, $\gamma w_2$ and $\gamma^2 w_1$, $\ldots\,$ Tener en cuenta el efecto de la reducción de los procesos en el subword $w_2(\gamma w_1)$ (marcos que podemos llevar a cabo las reducciones en cualquier orden que elija, el resultado será siempre el mismo). La primera reducción elimina algunos productos $t\,t^{-1}$ desde el centro de la $w_2(\gamma w_1)$, donde $t$ is the last token in $w_2$ and $t^{-1}$ is the first token in $\gamma w_1$. Nos quedamos con $w_2'(\gamma w_1')$, where $|w_1'|=|w_2'|=k-1$. Si $k>1$, no puede ser otra reducción aplicable en el centro de la $w_2'(\gamma w_1')$ (y en ningún otro lugar de esta palabra), por lo que aplicar, y así sucesivamente. De hecho, las reducciones deben continuar hasta el amargo final, la reducción de la inicial de la palabra $w_2(\gamma w_1)$ al final de la palabra vacía. Para suponer que el proceso de reducción se detiene después de $r<k$ reducciones; a continuación, el proceso de reducción, aplicado a cada una de las subpalabras $(\gamma w_2)(\gamma^2 w_1)$, $\ldots$, $(\gamma^{n-2}w_2)(\gamma^{n-1}w_1)$, will likewise stop after $r$ reducciones, y vamos a tener un vacío reducido palabra en nuestras manos, que no puede ser, porque la palabra $W$ debe reducir a la palabra vacía. Deje $h:=w_1/{\sim}$. Desde $w_2(\gamma w_1)\sim\varepsilon$, de ello se desprende que $w_2/{\sim}=(\gamma h)^{-1}$, de dónde $g=(w_1/{\sim})(w_2/{\sim})=h(\gamma h)^{-1}$.$~$ Hecho.

Answer 2

No sé cómo habría que reformularlo en términos de los conmutadores, sino $W(a,b,c,d) = a^{-1}bc^{-1}b^{-1}da^{-1}d^{-1}ab^{-1}a^{-1}cdc^{-1}b$ works with $w_1(a,b,c,d) = a^{-1}bc^{-1}b^{-1}dad^{-1}$ and $w_2(a,b,c,d) = ab^{-1}a^{-1}cdc^{-1}b$. Therefore, $w_2(a,b,c,d)*w_1(b,c,d,a) = ab^{-1}a^{-1}cdc^{-1}b * b^{-1}cd^{-1}c^{-1}aba^{-1} = 1$

Actualización: por arrastrando los pies alrededor de las letras un poco, lo tengo en un colector términos: $w_1(a,b,c,d) = b^{-1}c^{-1}ba^{-1}dad^{-1} = (c^{-1})^b * [a, d^{-1}]$ and $w_2(a,b,c,d) = ab^{-1}a^{-1}bc^{-1}dc = [a^{-1}, b] * d^c$ so $W(a,b,c,d) = (c^{-1})^b * [a, d^{-1}] * [a^{-1}, b] * d^c$.