¿Una malla factorial-primorial es divisible por el factorial infinitas veces?

Question

Pregunta

Supongamos que las funciones factorial y primorial conciben un bebé mediante el acto de la suma y lo llaman $n!\#$ y se veía así:

$$n!\# = \prod_{i=1}^n (p_i + i) = (2 + 1)(3 + 2)(5 + 3)(7 + 4) \dots (p_n + n)$$

¿Sucede infinitamente a menudo que el factorial divide esta función, es decir, hay infinitas soluciones enteras a:

$$\dfrac{n!\#}{n!}$$

Antecedentes

La función factorial $n!$ es bien conocido y viene dado por:

$$\prod_{i=1}^n i = 1 \times 2 \times 3 \times \dots n$$

La función primorial, marginalmente menos conocida $p_n\#$ está dada por:

$$\prod_{i=1}^n p_i = 2 \times 3 \times 5 \times \dots p_n$$

donde $p_i$ es el $i^{th}$ de primera.

La función definida anteriormente está catalogada en la OEIS en el siguiente enlace: Referencia OEIS . Sin embargo, no hay ninguna referencia a la divisibilidad por $n!$ allí.

Lo que sé hasta ahora

Aquí están los primeros valores que he calculado para $n!\#$ :

$\begin{array}{c|ccccc} n & n! & n!\# & \textrm{divides?} \\ \hline 1 & 1 & 3 & \textrm{Yes} \\ 2 & 2 & 15 & \textrm{No} \\ 3 & 6 & 120 & \textrm{Yes}\\ 4 & 24 & 1320 & \textrm{Yes} \\ 5 & 120 & 21120 & \textrm{Yes} \\ 6 & 720 & 401280 & \textrm{No} \\ 7 & 5040 & 9630720 & \textrm{No} \\ \end{array}$

Mi intuición

Tengo dos opiniones sobre la veracidad de esta afirmación, y no tengo suficiente experiencia con los números para juzgar en uno u otro sentido, así que por el momento estoy indeciso. Aquí están mis dos argumentos básicos, que están lejos de ser rigurosos.

Argumento a favor: Los primos están dispersos al azar, mientras que la secuencia $1, 2, 3, \dots, n$ no lo es. Así que añadir $p_n + n$ debería preservar la aleatoriedad que había en los primos en primer lugar. Por aleatoriedad, quiero decir que no debería haber preferencia por determinados factores primos sobre otros. Ahora bien, como $n\#!$ crece mucho más rápido que $n!$ debería empezar a barrer todos los primos en $n!$ . Tal vez haya incluso algo de $N$ tal que la divisibilidad de $n!\#$ por $n!$ es cierto para todos los $n > N$ pero esto es bastante fuerte y no estoy tan seguro.

Argumento en contra: Por otro lado, lo que pone en duda la conjetura es que porque $n\#!$ crece tan rápido, que tal vez crezca también rápido, y echa de menos muchos pequeños primos que se están agrupando en $n!$ . En otras palabras, tal vez hay un punto $N$ tal que la divisibilidad de $n!\#$ por $n!$ es falso para todos $n > N$ .

Answer 1

Esto no es una prueba, pero aquí hay algunas pruebas numéricas relevantes para la conjetura de que $n=1,3,4,5$ son las únicas veces (sin contar $n=0$ ) esta fracción es un número entero.

En primer lugar, es la única solución para $n$ hasta $15000$ . (Todos Mathematica código de abajo).

Y lo que es más importante, el número de factores primos en el denominador que no se anulan (contados con multiplicidad para que $20=2^2*5$ tiene $3$ factores primos) parece crecer de forma aproximadamente lineal con $n$ Sin embargo, tendría que bajar a $0$ para que la fracción sea un número entero.

Aquí hay una trama poco convincente para $0\le n<100$ :

Este es un gráfico para $0\le n\le7000$ con la línea $y=(0.0868166)x+27$ dibujado en la parte superior:

---

(\*Mathematica Code\*)

f\[0\]=1;
f\[n\_\]:=f\[n\]=f\[n-1\]\*(Prime\[n\]+n);

Print\[Table\[ If\[IntegerQ\[f\[n\]/(n!)\], n, Nothing\], {n, 0, 15000}\]\];

countprimes\[n\_\] := countprimes\[n\] = -Total\[Transpose\[Select\[FactorInteger\[f\[n\]/(n!)\], Function\[x, 0 > x\[\[2\]\] \] \]\]\[\[2\]\]\];

Print\[ListPlot\[Table\[{n, If\[n==0||n==1||n==3||n==4||n==5,0,countprimes\[n\]\]}, {n, 0, 99}\]\]\];

m=Table\[{n, If\[n==0||n==1||n==3||n==4||n==5,0,countprimes\[n\]\]}, {n, 0, 7000}\];

Print\[LinearModelFit\[m, x, x\]\];

Show\[ListPlot\[m\], Plot\[27 + 0.0868166 x, {x, 0, 7000}, PlotStyle -> Orange\]\]

Answer 2

Conjetura: para todo primo $q$ , $q$ divide $p_n + n$ infinitamente a menudo. Sabemos por el teorema de Dirichlet que hay un número infinito de primos en cualquier progresión aritmética, $p_n = a \cdot q + b$ con $a$ libre y $0 \lt b \lt q$ y no hay relación aparente entre $b$ y $n$ . Pero esto parece que puede ser muy difícil de probar.

Esto equivale a: para todo $k$ existe un $n$ tal que $\frac{ n!\# }{k!}$ es un número entero; una versión mucho más débil de su problema, por lo que demostrar la afirmativa será al menos igual de difícil.

Si no es cierto que $n!$ divide $n!\#$ infinitamente a menudo, primero deberíamos ser capaces de demostrar que infinitamente a menudo $n!$ hace no dividir $n!\#$ y hasta ahora tampoco soy capaz de hacerlo. Heurísticamente, el $n$ términos de $n!\#$ son aleatorios $\text{mod} \space n$ por lo que deberíamos esperar un $(1 - \frac{1}{n})^n \rightarrow \frac{1}{e}$ probabilidad de que ninguno de ellos sea divisible por $n$ y cuando $n$ es primo esto significa que al menos un $\frac{1}{e}$ la posibilidad de que $n!$ no divide $n!\#$ . Creo que esto puede convertirse en un argumento heurístico contra su declaración original.

He escrito un programa para comprobar el estado. Los únicos valores que encontré fueron $n! \space \vert \space n!\#$ y $n \lt 3000$ son $n = 1, 3, 4, 5$ . Eso significa que la respuesta es probablemente "no", para saber más sobre por qué puede ser interesante estudiar el denominador resultante en cada etapa.

También lo probé con primorial en lugar de factorial en el denominador, encontré $n = 1, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ y ningún otro menos que $3000$ . No es sólo la multiplicidad de primos más pequeños en el denominador lo que hace fallar la divisibilidad, la introducción de nuevos primos parece ser suficiente.

Actualizaré esta respuesta si hago más progresos.