¿Hay alguna definición geométrica de los polinomios?

Question

Sabemos que un polinomio en sola variable / indeterminada se define algebraicamente AS-

Una expresión de la forma$a_{n}x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}$,

donde$a_n,\dots,a_0$ son constantes y / parámetros$x$ es lo indeterminado / variable.

Pero me preguntaba si polinomio tiene ningún significado geométrico.

Answer 1

Una curva que después de ciertas diferenciaciones sucesivas da cero en todos los puntos. Obtendrá una línea recta paralela al eje X en el extremo en todos los puntos.

Answer 2

La gráfica de un cero$^{th}$ grado del polinomio (una constante) es horizontal. Que de un primer grado del polinomio como línea recta y que de una ecuación cuadrática es una parábola. El cúbicos tiene un centro de simetría, que es un punto de inflexión. Los polinomios de orden superior no tienen particularmente notable formas y características geométricas.

Uno puede sugerir las siguientes propiedades: si se considera el área bajo la gráfica de un polinomio de grado $d$ entre el $y$ eje y vertical en $x$, esta área se describe un polinomio de grado $d+1$. Por el contrario, la pendiente en cualquier punto de la gráfica de un grado $d$ polinomio de la siguiente manera un grado $d-1$ polinomio.

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Una manera inusual para producir la gráfica de un polinomio:

Tome una hoja rectangular de banda de goma y dibuje una línea horizontal. Luego gire a la izquierda para obtener una forma de mariposa. (Esta operación es una transformación que se multiplican todas ordenadas por el eje de abscisas, $y\to xy$.)

Siguiente, traducción de la curva vertical. (Esta operación añade una constante para las ordenadas, $y\to y+c$.)

Mediante la repetición de este par de operaciones de $d$ a veces, la línea gira a la gráfica de un grado $d$ polinomio.

Answer 3

Usted debe echar un vistazo a cualquier introducción a la geometría algebraica. Los objetos básicos de la geometría algebraica son variedades algebraicas, es decir, los conjuntos de cero de uno o varios polinomios dados. Si quieres un ejemplo básico, el círculo unitario en$\mathbb{R}^2$ es una variedad algebraica, ya que es el conjunto donde el polinomio$x^2+y^2-1$ desvanece.

Sin embargo, los polinomios considerados en la geometría algebraica tienen varias variables. Así que tal vez no responde adecuadamente a su pregunta ...