Por ejemplo, digamos que m es 10 y n es 3. Estoy seleccionando 3 números del 1 al 10 y quiero saber la probabilidad de que estén en orden. 1, 1, 4 estaría bien. 1, 6, 3 no estaría bien. Para m=10 y n=2, la probabilidad de seleccionar los 2 números en orden ordenado es de 55/100.
¿Cómo podría calcular la probabilidad de cualquier n y m arbitraria?
La gama completa es de $174$ a $424$ . La distancia entre estos es $424-174$ que es $250$ .
El valor actual del deslizador es $230$ Esto es $230-174$ es decir.., $56$ más grande que el valor mínimo posible.
Estamos interesados en la proporción $56/250$ . Una calculadora muestra que $56/250=0.224$ . Queremos expresar $0.224$ como un porcentaje. Para ello, multiplicamos $0.224$ por $100$ . El resultado es $22.4$ . Así que el porcentaje requerido para $230$ es $22.4\%$ .
Ya que no siempre nos ocuparemos del escenario $230$ generalizemos un poco. Supongamos que el ajuste del deslizador es $S$ . (En su pregunta, $S=230$ .) Asume que $174 \le S \le 424$ .
Entonces la distancia de $S$ al mínimo $174$ es $$S-174.$$ La relación entre esta distancia y la distancia total $474-174$ es $$ \frac {S-174}{424-174}.$$
Para convertir esto en un porcentaje, multiplique por $100$ . La respuesta es $$ \left ( \frac {S-174}{424-174} \right ) \times 100 \:\:\%.$$
Comprobación de la realidad : Es muy fácil cometer errores, lo he hecho cientos de veces. Así que veamos qué respuesta obtenemos de la fórmula anterior cuando $S=174$ . Sustituye a $174$ para $S$ . Tenemos $0\%$ . Bien. Veamos qué respuesta obtenemos si ponemos $S=424$ . Sustituto. Tenemos $100\%$ . En general, los controles al azar de este tipo no garantía que una fórmula es correcta, pero son una buena prueba de que no hemos cometido un horrible error. (En lineal casos, como este, dos controles al azar de hecho hacer garantizar la corrección).
Ahora vamos a ajustar la fórmula para que podamos lidiar con una situación diferente, donde el ajuste mínimo es $m$ y el ajuste máximo es $M$ . Deje que $m \le S \le M$ . Entonces el porcentaje que corresponde al ajuste $S$ está dada por $$ \left ( \frac {S-m}{M-m} \right ) \times 100 \:\:\%.$$ El razonamiento que da esta fórmula es exactamente el mismo que el que usamos para los números concretos que usted suministró.
Ahora que tenemos una fórmula que da el porcentaje $P$ cuando conocemos el escenario $S$ podemos usar un poco de álgebra para obtener una fórmula que dé la configuración $S$ si se nos dice el porcentaje deseado $P$ . Si necesita una fórmula de este tipo y tiene dificultades para obtenerla, por favor deje un mensaje.
La respuesta de David es incorrecta porque no son i.i.d. La probabilidad de que el n-ésimo sorteo sea mayor que todos los sorteos anteriores y la probabilidad de que el n-ésimo sorteo sea mayor que todos los sorteos anteriores no son independientes.
Aquí hay un código de pitón para calcular la probabilidad exacta de forma recursiva:
# Recursively finds the number of combinations that are in order for n draws
# of random integers from 1 to m.
def recursively_find_combinations(m,n):
if n==2: # For the n=2 case just return the sum from 1 to m
return float(m*(m+1))/2
else: # Otherwise sum from 1 to m the ordered combinations when n = n-1
return sum([recursively_find_combinations(x,n-1) for x in range(1,m+1)])
# Finds the probability that n draws n draws of random integers from 1 to m will be in order.
def find_p(m,n):
return recursively_find_combinations(m,n)/(m**n)Desglosémoslo por el número de combinaciones de sorteos que están en orden y cuántas combinaciones son posibles.
Hay $m^n$ posibles combinaciones.
Empecemos mirando m=10 y n=2. Hay 100 combinaciones ( $10^2$ ). ¿Cuántos están en orden? Hay 10 combinaciones en las que el primer número es un 1, todas ellas estarán en orden porque el segundo número será mayor o igual a 1. Hay 10 combinaciones en las que el primer número es un 2, 9 de ellas estarán en orden, sólo se elimina 1, la combinación (2,1). Siguiendo este razonamiento hay 10 + 9 + 8 + ... + 1 o $= \sum_ {x=1}^{x=m}x = \frac {(m)(m+1)}{2} = 55 $ combinaciones ordenadas. Hay 100 combinaciones posibles, así que eso da una $= \frac {55}{100} = .55$ probabilidad de obtener un resultado ordenado.
Así que para n = 2 las combinaciones ordenadas son $= \sum_ {x_1=1}^{x_1=m}x_1$ .
Ahora veamos m=10 y n=3. Hay 1000 combinaciones posibles ( $10^3$ ).
Hay 100 combinaciones que empiezan con un 1. Los números que están en orden (55) son los mismos que las combinaciones ordenadas para m=10 y n=2 porque todos los números son mayores o iguales a 1. Hay 100 combinaciones que empiezan con un 2. Hay 45 combinaciones que están en orden, las mismas 55 que cuando empezó con un 1 menos las 10 combinaciones de la forma 2,1,x. Ninguna de ellas está en orden porque 1 es más pequeño que 2 sin importar lo que sea x. Cuando empezamos con un 3 hay 55-10-9 combinaciones ordenadas. Haz esto hasta 10. Empezando con un 10 hay 55-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1 combinaciones ordenadas.
Así que el número total de combinaciones ordenadas para m=10 y n=3 es $ \sum_ {x_2=1}^{x_2=m} \sum_ {x_1=1}^{x_1=x_2}x_1$ .
Siguiendo este razonamiento el número total de combinaciones para un n y m arbitrarios es $ \sum_ {x_{n-1}=1}^{x_{n-1}=m} \sum_ {x_{n-2}=1}^{x_{n-2}=x_{n-1}} \sum_ {x_{n-3}=1}^{x_{n-3}=x_{n-2}}... \sum_ {x_1=1}^{x_1=x_2}x_1$ .
Para hallar la probabilidad de dibujar una combinación ordenada, basta con dividir el número de combinaciones ordenadas por las combinaciones posibles.
$= \frac { \sum_ {x_{n-1}=1}^{x_{n-1}=m} \sum_ {x_{n-2}=1}^{x_{n-2}=x_{n-1}} \sum_ {x_{n-3}=1}^{x_{n-3}=x_{n-2}}... \sum_ {x_1=1}^{x_1=x_2}x_1}{m^n}$
Algunos resultados para m = 10 variando n:
P(ordered|m=10,n=2)= 0.55000000
P(ordered|m=10,n=3)= 0.22000000
P(ordered|m=10,n=4)= 0.07150000
P(ordered|m=10,n=5)= 0.02002000
P(ordered|m=10,n=6)= 0.00500500
P(ordered|m=10,n=7)= 0.00114400
P(ordered|m=10,n=8)= 0.00024310
P(ordered|m=10,n=9)= 0.00004862
A menos que me equivoque, creo que podría hacerte caer $n,m$ problema a un $2,n$ problema, que ha resuelto para $n=10$ y de la cual la solución es más generalmente $p = \frac {n+1}{2n}$
$P[X_m \ge X_{m-1} \ge ... \ge X_1]=$
$P[X_m \ge \max (X_{m-1},X_{m-2} ... X_1);X_{m-1} \ge \max (X_{m-2},X_{m-3} ... X_1);...X_1 \ge \max (X_1)=X_1]$
Porque son $i.i.d$ esto lo hace:
$=P[X_m \ge \max (X_{m-1},X_{m-2} ... X_1]P[X_{m-1} \ge \max (X_{m-2},X_{m-3} ... X_1]... P[X_1 \ge \max (X_1)=X_1]$
$= \prod_ {i=1}^{i=m-1} P[X_m \ge X_{i}] \prod_ {i=1}^{i=m-2} P[X_{m-1} \ge X_{i}] \prod_ {i=1}^{i=m-(m-1)} P[X_{2} \ge X_{i}]$
donde $P_{i \not =j}[X_i \ge X_j] = \frac {n+1}{2n}$
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