Desigualdad que implica el exponencial de las raíces cuadradas

Question

¿Cómo puedo demostrarlo?

$$2e^\sqrt{3} \leq 3e^\sqrt{2}$$

? (eso es todo lo que tengo)

¡Muchas gracias!

Answer 1

Dejemos que $f(x)=\frac{e^{x}}{x^2}$ . Entonces $$f'(x)=e^x\left(\frac{x-2}{x^3}\right)$$

Así que $f'(x)<0$ para $0<x<2$ . Entonces $f(\sqrt{3})<f(\sqrt{2})$ y su resultado es el siguiente.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3-2=1$$ y $$(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2=5+2\sqrt{6}>5+2\cdot 2=9$$ Así, $\sqrt{3}+\sqrt{2}>3$ , lo que da $\sqrt{3}-\sqrt{2}<\frac{1}{3}$ .

Ahora afirmamos que $e^{\frac{1}{3}}<\frac{3}{2}$ Esto se debe a que $$e<3<\frac{27}{8}=\left(\frac{3}{2}\right)^3$$

De ello se desprende que $$e^{\sqrt{3}-\sqrt{2}}<e^{\frac{1}{3}}<\frac{3}{2}$$ por lo que $$2e^{\sqrt{3}}<3e^{\sqrt{2}}$$

Answer 3

Dividir ambos lados por $6$ lo que da lugar a la forma más sugestiva $$\frac{e^{\sqrt3}}{3}\le\frac{e^{\sqrt2}}{2}.$$ Ahora sólo hay que comprobar que la derivada de $e^{\sqrt x}/x$ es negativo entre $2$ y $3$ .

Answer 4

Dejemos que $$f(x) =\frac{e^{\sqrt{x}}}{x}$$

Entonces $$f'(x)=\frac{e^\sqrt{x}\frac{1}{2\sqrt{x}}x-e^{\sqrt{x}}}{x^2}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{x^2}(\frac{\sqrt{x}}{2}-1)$$

Como $f'(x) <0$ en $(1,4)$ $f$ es decreciente y por lo tanto $f(2) >f(3)$ .

Answer 5

Toma el registro de ambos lados: $\ln 2 + \sqrt{3} \leq \ln 3 + \sqrt{2} \iff \dfrac{1}{2} \leq \dfrac{\ln \sqrt{3} - \ln \sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ .

Considere $f(x) = \ln x, x \in [\sqrt{2}, \sqrt{3}], f'(x) = \dfrac{1}{x}\geq \dfrac{1}{2}$ .

La conclusión se desprende del MVT.