¿Es necesario tener $\theta$ en radianes para obtener $\frac{\sin{\theta}}{\theta} \to 1$ como $\theta\to 0$ ?

Question

$$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} = 1$$

¿Podría alguien explicar por qué $\theta$ está en radianes? ¿Es porque si $\theta$ no está en radianes, entonces $\frac{\sin{\theta}}{\theta} \neq 1$ ? ¿Existe una explicación detallada?

Answer 1

$$\lim_{x\to0}\frac{\sin x^\circ}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\sin_\text{(radians)}\left(\frac{\pi x}{180}\right)}{x}.$$

Ahora dejemos que $u=\dfrac{\pi x}{180}$ . Observe que a medida que $x\to0$ tenemos $u\to0$ . Y $x=\dfrac{180u}{\pi}$ . Así que el límite se convierte en

$$\lim_{u\to0}\frac{\sin_\text{(radians)}\left( u \right)}{ \left( \frac{180u}{\pi} \right) } = \lim_{u\to0} \frac{\pi}{180} \cdot \frac{\sin_\text{(radians)} u}{u} = \frac{\pi}{180} \cdot \lim_{u\to0} \frac{\sin_\text{(radians)} u}{u} = \frac{\pi}{180}\cdot 1= \frac{\pi}{180}.$$

Por lo tanto $$\lim_{x\to0}\frac{\sin x^\circ}{x} = \frac{\pi}{180}.$$

Sólo cuando se utilizan radianes el límite es $1$ .

Del mismo modo, sólo cuando se utilizan radianes $\sin'$ igual a $\cos$ . Si se utilizan grados $\sin' = \frac{\pi}{180}\cdot\cos$ .

Esto es similar a lo que ocurre con las derivadas de funciones exponenciales: $$\frac{d}{dx} a^x = \left(a^x\cdot\text{constant}\right).$$ Sólo cuando $a=e$ es la constante igual a $1$ . Eso es lo "natural" de $e$ .

Nota posterior: Añadiría un gráfico para respaldar esto si pudiera dibujarlo convenientemente y subirlo. Pero aquí lo describiré. Primero mira esto: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/45/Unitcircledefs.svg Entonces imagina lo que pasaría si $\theta$ es infinitamente pequeño pero positivo. En ese caso, el arco curvo que estás viendo parece una línea recta, y la línea vertical que define el seno es la misma línea recta. Así que el cociente de sus longitudes es $1$ . Pero si se utilizan otras unidades además de los radianes, de modo que la longitud del arco no se mide en las mismas unidades que la longitud de la línea vertical, entonces sus longitudes son dos números diferentes, aunque sus longitudes sean iguales, por lo que el cociente de esos números no es $1$ .

Answer 2

En el plano xy, dibuja un círculo de radio 1 alrededor del origen.
Dado un punto $(x,y)$ en el círculo, el ángulo entre el positivo $x$ -y el vector del origen a $(x,y)$ en radianes es simplemente la longitud de la parte del círculo desde el punto $(1,0)$ en el sentido contrario a las agujas del reloj para $(x,y)$ . Si el ángulo es pequeño, entonces $x$ y la longitud de la parte del círculo son casi iguales.
Esta es mi manera descuidada de decir que $\lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$ . Este límite es sólo $1$ si $\theta$ se expresa en radianes. Si el ángulo $\theta$ se da en grados, entonces en radianes es $\frac{2\pi}{360}\theta$ . Según las reglas habituales de los límites, en caso de $\theta$ se da en grados, el límite es $\frac{\pi}{180}$ .

Answer 3

La longitud $L$ de un arco de círculo de radio $r$ y ángulo subentrante $\theta$ es $$\begin{equation*} L=r\theta \end{equation*}$$ sólo si $\theta$ se mide en radianes $^1$ . Bajo este supuesto y para $0<\theta<\pi/2$ radianes $$\begin{equation*} \sin \theta <\frac{L}{r}=\theta <\tan \theta \end{equation*}$$

y $$\begin{equation*} 1<\frac{\theta }{\sin \theta }<\frac{1}{\cos \theta }, \end{equation*}$$

lo que implica que $$\begin{equation*} \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\theta }{\sin \theta }=1\Leftrightarrow \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin \theta }{\theta }=1, \end{equation*}$$

porque $\frac{\sin \theta }{\theta }$ es una función par.

$^1$ Si $\theta$ se mide en grados, entonces $$\begin{equation*} L=\frac{\pi r}{180}\theta . \end{equation*}$$

Answer 4

Como se ha señalado en un comentario, todo depende de tu definición de la función seno. Si se fija un función seno, entonces no cambia nada, ya que es sólo un cambio de variables por dilatación. Pero los radianes son números puros, mientras que los grados son números con una unidad, y probablemente deberíamos señalar que $90^\circ$ no es un número real. Si denotamos por $\sin$ la función seno definida en $\mathbb{R}$ la expresión $\sin 90^\circ$ debe interpretarse como $$\sin \left(\frac{90^\circ}{180^\circ} \pi \right).$$

Answer 5

La aparente confusión se debe a una sobrecarga de $\sin$ la función: la función que da el seno de un ángulo cuando se mide en grados es diferente de la función que da el seno de un ángulo cuando se mide en radianes. Están relacionados por una escala en la entrada y así el límite cambia con esa escala.