Deje$G$ sea un grupo finito y$H$ a un subgrupo. ¿Es cierto que un conjunto de representantes de coset derecha$H$ también es un conjunto de representantes coset izquierdo del$H$?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No toda la izquierda transversal es también un derecho transversal. El Grupo de Propiedades de la Wiki tiene una lista de subgrupo propiedades que son más fuertes que "tener [al menos] a la izquierda transversal que es también un derecho transversal"; entre estos se encuentra la normalidad como William notas.
Sin embargo la izquierda coset de los representantes de la multiplicativo inversos forma de un derecho transversal, debido a que
$$\begin{array}{c l}xH=yH & \iff y^{-1}xH=H \\ & \iff y^{-1}x\in H \\ & \iff (y^{-1}x)^{-1}=x^{-1}y\in H \\ & \iff Hx^{-1}y=H \\ & \iff Hx^{-1}=Hy^{-1}. \end{array}$$
Jonik
Puntos
7937
Esta respuesta es principalmente dar una buena bibliografía para este problema de encontrar comunes transversales. Iba a ser una prueba, pero todas las pruebas fueron combinatoria y mis intentos por hacer que suenen interesantes fallado.
Existe: sí, Todos: no
Si $H \leq G$ $K \leq G$ son los dos subgrupos de la misma finito índice $[G:H]=[G:K]$, entonces ellos tienen un común "transversal": un conjunto $t_i \in G$ tal que $H t_i \neq H t_j$ $t_i K \neq t_j K$ si $i \neq j$ que $G = \cup H t_i = \cup t_i K$. Tomando $H=K$ da una respuesta a la pregunta original, la interpretación de "a" como "no existe" en lugar de "para todos". Puedo hablar de la historia de la publicación de este teorema en la siguiente sección.
Uno puede fácilmente comprobar que $\{ (), (2,3), (1,2,3) \}$ es sólo una cara de conjunto de coset representantes de $\{(),(1,2)\}$ en el grupo simétrico $\{ (), (1,2), (2,3), (1,3), (1,2,3), (1,3,2) \}$.
La historia
La primera prueba es debido a Miller (1910) con otro similar de la prueba en Chapman (1913). La misma prueba se utilizó para obtener un mayor resultado en Scorza (1927). Van der Waerden (1927) resultado de una combinatoria precursor del Matrimonio teorema de Hall (1935) y cita explícitamente la Miller (1910) como su motivación. Una prueba que se presenta en forma de libros de texto en Zassenhaus (1937), el teorema 3, página 12; creo que este es van der Waerden de la prueba, pero Zassenhaus créditos a Willi Maak. Shü (1941) generaliza Scorza del resultado a lo finito índice de subgrupos y da un ejemplo para mostrar el resultado no es cierto para un general de los subgrupos. Mineral (1958) continúa esta investigación. Hall (1967) utiliza el teorema de matrimonio para probar el teorema en el finito caso índice como el teorema de 5.1.7 en la página 55. Alonso (1972) resulta menos, pero da más ejemplos y usos más primitivos versiones, algo similar a Hall (1967). Applegate–Onishi (1977) demuestra que el resultado continuo de las secciones de profinite grupos.
Bibliografía
- Miller, G. A. "En un método debido a Galois." Revista trimestral de Matemáticas 41, (1910), 382-384. JFM41.174.1
- Chapman, W. H. "Una nota sobre la teoría elemental de grupos de orden finito." Mensajero de Matemáticas (2) 42 (1913), 132-134; corrección 43 (1914), 85. JFM44.168.3 (Corrección en el siguiente volumen)
- Scorza, G. "A proposito di un teorema del Chapman." Bollettino della Unione Matemática Italiana 6, 1-6 (1927). JFM53.105.5
- van der Waerden, B. L. "Ein Satz über Klasseneinteilungen von endlichen Mengen." Abhandlungen Hamburgo 5, 185-187 (1927). JFM53.171.2 DOI10.1007/BF02952519
- Hall, P. "Sobre los representantes de los subconjuntos." Journ. Londres Matemáticas. Soc. 10, 26-30 (1935). JFM61.67.1 ZBL10.345.3 DOI:10.1112/jlms/s1-10.37.26
- Zassenhaus, Hans. Lehrbuch der Gruppentheorie. (De hamburgo. De matemáticas. Einzelschriften 21) De Leipzig, Berlín: B. G. Teubner. VI, 152 S. (1937). JFM63.58.3 ZBL18.9.1 MR30947 MR91275
- Shü, Shien-siu. "En el representante común del sistema de residuos clases de infinito de los grupos". J. Londres Matemáticas. Soc. 16, (1941). 101 a 104. MR4624 DOI:10.1112/jlms/s1-16.2.101
- Mineral, Oystein. "En coset representantes en los grupos". Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 9 (1958) 665-670. MR100639 DOI:10.2307/2033229
- Hall, Marshall, Jr. Combinatoria teoría. Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co., Waltham, Mass.-Toronto, Ont.-Londres (1967) x+310 pp. MR224481 MR840216
- Alonso, James. "Los representantes de cosets." Amer. De matemáticas. Mensual de 79 (1972), 886-890. MR315004 DOI:10.2307/2317669
- Appelgate, H.; Onishi, H. "La coincidencia de pares de perfiles continuos en profinite de los grupos". Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 63 (1977), no. 2, 217-220. MR442099 DOI:10.2307/2041792
iturki
Puntos
106
No, esto no es cierto a menos que $H$ es un subgrupo normal. Supongamos que $H$ es normal. A continuación, para todos $a \in G$, $aHa^{-1} = H$ por lo $aH = Ha$. Supongamos que el conjunto de la izquierda y la derecha cosets son los mismos. Desde cosets son particiones de $G$, $aH = Ha$. Por lo tanto $aHa^{-1} = H$. Ya que este tiene para todos los $a \in G$, $H$ es un subgrupo normal.
Sin embargo, para cualquier subgrupo $H$ $G$ es cierto que el conjunto de la izquierda cosets y derecho cosets están en bijection. Es decir,$\Phi(aH) = Ha^{-1}$.
Deje $R$ $L$ el conjunto de derecha o de derecha y de izquierda cosets. Arriba me mostró que $R = L$ si y sólo $H$ es normal .
Ahora supongamos que $H$ no es normal. Por lo $R \neq L$. Por lo tanto, no es un derecho coset $\sigma$ que no es una izquierda coset. Desde que asumió que los grupos son finitos, el tamaño de cada uno a la izquierda y a la derecha cosets son iguales. Por lo tanto, si $\sigma$ no es toda la izquierda coset, a continuación, $\sigma$ debe intersectar dos a la izquierda cosets $\tau_1$$\tau_2$. Deje $a_1 \in \sigma \cap \tau_1$$a_2 \in \sigma \cap \tau_2$. Ahora forman un conjunto de representantes de la $K$ para la izquierda cosets, donde $a_1$ $a_2$ elegido representante para $\tau_1$ $\tau_2$ respectivamente. Ahora $K$ no es un conjunto de representante de la derecha cosets desde $a_1$ $a_2$ son representativas para el mismo derecho coset. Así que algo de razón coset debe tener ningún representante.
