$\int_{-\infty}^\infty e^{ikx}dx$ Es igual a qué?

Question

¿Cómo sería$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ikx}dx$ igual a donde$i$ se refiere a la unidad imaginaria? ¿Qué pasos debo ir a resolver esta integral?

Vi esto en la transformada de Fourier, y estoy seguro de cómo resolver esto.

Answer 1

Integrante$$\int_{-a}^{a} e^{ikx}dx=\frac{e^{ikx}}{ik}|_{-a}^{a}=\frac{e^{ika}-e^{-ika}}{ik}=\frac{2i\sin{ka}}{ik}=2a\frac{\sin{ka}}{ka}$$ Now if $ a \ a \ infty$, the term $ \ frac {\ sin {ka}} {ka} = \ delta (k)$ where $ \ delta $ es Dirac- función delta.

Answer 2

Draks está justo en esto (1) que tiene sentido como (hasta una constante) una representación de la distribución delta de Dirac (que es divergente desde otros puntos de vista!).

Más exactamente:$$2\pi \delta(k)=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ikx}dx$ $

Answer 3

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{ikx}dx$ Es un (EDIT: escalado por$\frac1{2\pi}$) representación del $\delta(k)$ función de Dirac . Para la primitiva ver las otras respuestas ...

Answer 4

La definición de la inversa de Fourier:

ps

El par de Fourier (en el dominio de la frecuencia angular):

ps

La integral de la cuestión:

ps

La variable de sustitución$$ f(t) = \mathfrak{F}^{-1}\{F(jw)\} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(jw) e^{jwt} dw $ se hizo y se hizo la T-sustitución$$ \delta(t) \leftrightarrow 1 $, para mayor claridad.

Answer 5

Formalmente se resuelve exactamente como en el caso real. La primitiva es$\frac{1}{i k} e^{ikx}$. Asi que, $\int e^{ikx} dx = \frac{1}{i k} e^{ikx} + C$.