¿Es esta una transformación lineal?

Question

Deje$T$ una transformación de$P_2$ a$P_2$ (donde$P_2$ es el espacio de todos los polinomios con grado menor que o igual a$2$)

ps

Estoy tentado a decir que esto no es una transformación lineal, porque

ps

Lo cual no es igual

ps

Pero no estoy seguro de si lo hiciera correctamente ...

Answer 1

$T(t^2+t)=2(t^2+t)\neq2(t^2)+0(t)=T(t^2)+T(t)$

No se moleste usted mismo, para mostrar que una propiedad no se satisface sólo tiene que traer un contraejemplo. De hecho$T(f+g)$ se puede$T(f)+T(g)$ para algunos adecuada$f$ y$g$. Así que decir que éstas no son iguales para todos los$f$ y$g$ es una sentencia equivocada. Por ejemplo, si$f$ y$g$ sea polinomios lineales entonces ambas partes van a ser cero!

Answer 2

Estás en lo correcto, pero para completar el trabajo, usted debe proporcionar un contraejemplo --que es, específica$f,g\in P_2$. tal que$T(f+g)\ne T(f)+T(g)$. Alternativamente, encontrar un escalar$\alpha$ y un$f\in P_2$% tal que $T(\alpha f)\ne\alpha T(f)$.

Answer 3

Si$f(t)=at^2+bt+c$, entonces$T(f)(t)=2a^2t^2 +2abt+2ac$. El$a^2$ en el término cuadrático ve suspicuously no lineal. De hecho, si$f(t)=t^2$, entonces$T(f)(t) = 2t^2$ y$T(-f)(t)=2t^2$ también. Suponiendo$2\ne0$, esto contradice la linealidad como que requiere$T(f)+T(-f)=0$.

Por otro lado, si$2=0$ en su fiedl base, entonces$T$ es el mapa de cero y trivialmente lineal.