¿Puede tener una real Oda una solución compleja?

Question

Por una real Oda me refiero a una ecuación diferencial ordinaria con coeficientes sólo real y la función resultante es una función de un argumento real. ¿Si existe una solución, puede dar un ejemplo?

Edit: Para añadir a esto, es todavía posible si las condiciones iniciales también deben ser verdaderos?

Answer 1

$$ f (x) ^ 2 + 1 = 0 $$ que es una ecuación diferencial donde el coeficiente de "derivado" es cero; como ocurre, la solución es una de la funciones constantes $f(x) = \pm i$.

Si usted quiere uno con un término derivado, considerar $$ f (x) ^ 2 + 1 = xf'(x) $$ $x = 0$, cualquier solución debe tener $f(0) = \pm i$.

Answer 2

soluciones % cuenta con $y'' + y = 0$ $e^{ix}$y $e^{-ix}$.

Actualización: $y = ix$ es una solución $(y')^2 + 1 = 0$ $y(0)=0$

Answer 3

Considerar el $y(x)=(1-x^2)^{3/2}$.

Entonces $$y'(x)=-\frac322x(1-x^2)^{1/2}=-3x\sqrt[3]{y(x)},$$ with the initial condition $ y (0) = 1$.

$y(\sqrt2)=i.$

Answer 4

Siempre hay una base de soluciones reales para una real lineal ODE con coeficientes constantes tiene grado mayor que 1, descartando así los ejemplos raros como una ecuación polinómica no que derivados en todos. Ver 4.1 Teorema de http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/linmultialg/diffeqdim.pdf.

Answer 5

Trate de

$$\left[\frac{dy}{dx}\right]^2 = -(y^2 + 1)$$

Esta ecuación no tiene solución real. La prueba por contradicción: suponga $y(x)$ es una verdadera solución valorada. A continuación, $\left[\frac{dy}{dx}\right]^2$ es real, pero que implica $\sqrt{-(y(x)^2 + 1)}$ es real, sin embargo, $y(x)^2 + 1 > 0$ siempre no importa lo que es la verdadera función de $y(x)$ es $-(y(x)^2 + 1) < 0$ siempre y por lo que esta raíz cuadrada nunca puede ser real. Contradicción.

EDIT: me acaba de lanzar en Wolfram, y parece que todas las soluciones pueden ser reales valorada en algunos puntos aislados -, pero aislado puntos no es real una función derivable de una variable real!