¿Hay un patrón de expresión para las sumas anidadas de la primera $n$ términos de una expresión?

Question

Disculpe el título confuso pero no se me ocurrió una mejor manera de expresarlo. De lo que estoy hablando es de esto:

$$ \sum_ {i=1}^n \;i = \frac {1}{2}n \left (n+1 \right )$$ $$ \sum_ {i=1}^n \; \frac {1}{2}i \left (i+1 \right ) = \frac {1}{6}n \left (n+1 \right ) \left (n+2 \right ) $$ $$ \sum_ {i=1}^n \; \frac {1}{6}i \left (i+1 \right ) \left (i+2 \right ) = \frac {1}{24}n \left (n+1 \right ) \left (n+2 \right ) \left (n+3 \right ) $$

Vemos que esto parece indicar:

$$ \sum_ {n_m=1}^{n} \sum_ {n_{m-1}=1}^{n_m} \ldots \sum_ {n_1=1}^{n_2} \; n_1 = \frac {1}{m!} \prod_ {k = 0}^{m}(n+k) $$

¿Es un resultado conocido? Si es así, ¿cómo lo probaría? He probado algunos argumentos inductivos pero como no podía expresar bien las expresiones intermedias, no llegué a ninguna parte.

Answer 1

Deberías tener $$\sum_{i=1}^{n} 1 = n$$ $$\sum_{i=1}^{n} i = \frac{1}{2} n(n+1)$$ $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} i(i+1) = \frac{1}{6} n(n+1)(n+2)$$ $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{6} i(i+1)(i+2) = \frac{1}{24} n(n+1)(n+2)(n+3)$$

En particular, la primera suma tuya estaba mal y las cosas que estabas sumando deberían depender de $i$ , no en $n$ .

Pero, respondiendo a la pregunta, ¡sí! Este es un resultado conocido, y en realidad se deduce bastante bien de las propiedades del triángulo de Pascal. Mira las primeras diagonales del triángulo y comprueba cómo coinciden con tus sumas, y ve si puedes explicar por qué existe esa relación, y por qué las sumas aquí pueden escribirse en términos de coeficientes binomiales. Entonces, la identidad del palo de hockey demuestra muy bien tu idea.

Answer 2

Desde cálculo finito tenemos que

$$\sum a^{\underline k}\delta k=\frac{a^{\underline{k+1}}}{k+1}+C$$

donde $a^{\underline k}:=\prod _{j=0}^{k-1}(a-j)$ se conoce como factorial descendente y $C$ es cualquier función periódica con periodo $1$ (puede ser una función constante, en general se toma como cero, es un análogo de una integral indefinida, en este caso es una suma indefinida).

Y tenemos que $a^{\overline m}:=\prod_{j=0}^{m-1}(a+j)$ se conoce como factorial ascendente y

$$a^{\overline m}=(a+m-1)^\underline m$$

De ahí que se quiera resolver la suma

$$\begin{align}\sum_{k=\ell}^n k(k+1)\cdots(k+m)&=\sum\nolimits_\ell^{n+1}k^{\overline{m+1}}\delta k\\&=\sum\nolimits_\ell^{n+1}(k+m)^{\underline{m+1}}\delta k\\&=\frac{(k+m)^{\underline{m+2}}}{m+2}\bigg|_\ell^{n+1}\\&=\frac1{m+2}\big((n+m+1)^\underline{m+2}-(\ell+m)^\underline{m+2}\big)\\&=\frac1{m+2}\big(n^\overline{m+2}-(\ell-1)^\overline{m+2}\big)\end{align}$$

A partir de aquí es fácil justificar su resultado

$$\underbrace{\sum\sum\ldots\sum_{k=1}^n 1}_{m\text{ times}}=\frac{n^\overline {m+1}}{m!}=\frac{(n+m-1)^{\underline m}}{m!}=\binom{n+m-1}{m}$$

Answer 3

En esta respuesta se demuestra que: $$ \sum_{n_m=1}^{n}\sum_{n_{m-1}=1}^{n_m}\ldots \sum_{n_1=1}^{n_2}1=\binom{n+m-1}{m}\tag1$$

En la base de la regla: $$\sum_{k=r}^n\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1}\tag2$$ que puede deducirse fácilmente por inducción sobre $n$ . Paso de inducción: $$\sum_{k=r}^n\binom{k}{r}=\sum_{k=r}^{n-1}\binom{k}{r}+\binom{n}{r}=\binom{n}{r+1}+\binom{n}{r}=\binom{n+1}{r+1}$$

Ahora $(2)$ puede aplicarse para demostrar $(1)$ por inducción en $m$ .

El paso de inducción es:

$$ \sum_{n_m=1}^{n}\sum_{n_{m-1}=1}^{n_m}\ldots \sum_{n_1=1}^{n_2} \; 1 = \sum_{n_m=1}^{n} \binom{n_{m-1}+m-2}{m-1}= \binom{n+m-1}{m}$$

Answer 4

El patrón en realidad es $$ \sum_{n_m=1}^{n}\sum_{n_{m-1}=1}^{n_m}\ldots \sum_{n_1=1}^{n_2} \sum_{n_0=1}^{n_1} 1 = \frac{1}{(m+1)!}\prod_{k = 0}^{m}(n+k), \tag1$$ donde por razones de simetría (y para simplificar la prueba posterior) he escrito $n_1$ como $\sum_{n_0=1}^{n_1} 1.$ Una forma un poco más conveniente de escribir lo mismo es

$$ \sum_{1\leq n_0\leq n_1\leq n_2\leq \cdots \leq n_{m-1}\leq n_m\leq n} 1 = \binom{n+m}{m+1} \tag2$$

donde $\binom{n+m}{m+1}$ es un coeficiente binomial. El lado derecho de la ecuación $2$ es igual al lado derecho de la ecuación $1$ mediante la siguiente fórmula para un coeficiente binomial, $$ \binom pq = \frac{p(p-1)(p-2)\cdots(p-q+1)}{q!}. $$

El significado del lado izquierdo de la ecuación $2$ es que hay un término de la suma para cada lista posible de números $n_0, n_1, n_2, \ldots, n_m$ tal que $1\leq n_0\leq n_1\leq n_2\leq \cdots \leq n_m\leq n.$ Observe que $$ \sum_{1\leq n_0\leq n_1\leq n_2\leq\cdots\leq n_{m-1}\leq n_m\leq n} 1 = \sum_{n_m=1}^n \left(\sum_{1\leq n_0\leq n_1\leq n_2\leq\cdots \leq n_{m-1}\leq n_m} 1\right),$$ y si se continúa "desempaquetando" las sumas de esta manera con una suma de $1$ a $n_m,$ entonces $1$ a $n_{m-1},$ y así sucesivamente, se obtiene el $m+1$ sumas anidadas en el lado izquierdo de la ecuación $1.$

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Este es un resultado bien conocido. Véase Simplificación de una suma anidada , Sumas anidadas y su relación con los coeficientes binomiales , y esta respuesta a ¿Coeficiente binomial como prueba de serie sumatoria?

Hay una prueba combinatoria que es un poco más fácil de ver si se reescribes la suma de esta manera: $$ \sum_{1\leq n_0\leq n_1\leq n_2\leq\cdots\leq n_m\leq n} 1 = \sum_{0 < n_0 < n_1+1 < n_2+2 < \cdots < n_m+m < n+m+1} 1,\tag3$$ utilizando el hecho de que para los enteros $p$ y $q,$ $p \leq q$ si y sólo si $p < q+1.$

Cada término de la suma del lado derecho de la ecuación $3$ tiene $m+1$ números de índice $n_0, n_1, n_2, \ldots, n_m$ seleccionada entre los números enteros estrictamente comprendidos entre $0$ y $n+m+1,$ es decir, del conjunto de enteros $\{1,2,3,\ldots,n+m-1,n+m\}.$ Como cada combinación posible de números seleccionados sólo puede seleccionarse de una manera (orden creciente), el número de términos es exactamente el número de maneras de elegir $m+1$ elementos de un conjunto de $n+m$ elementos, es decir el coeficiente binomial " $n+m$ elija $m+1$ ," anotado $\binom{n+m}{m+1}.$