¿La mayor parte de las matemáticas son independientes de la teoría de conjuntos?

Question

¿La mayor parte de las matemáticas son independientes de la teoría de conjuntos? Leyendo esta cita de Noah Schweber :

la mayor parte del tiempo en la literatura matemática, ¡ni siquiera estamos tratando con conjuntos!

parece que la respuesta a mi pregunta es "sí". Pero, ¿por qué? Cuando leo en la literatura matemática, los conjuntos aparecen en todas partes: los necesitamos en las definiciones de grupos, anillos, espacios vectoriales, ... Sin embargo, ¿hay algo de cierto en la cita, y en qué sentido?

Answer 1

EDIT: por diversas razones, creo que debo hacer una advertencia explícita aquí. Evidentemente, creo en lo que digo en mi respuesta, si no, no la habría escrito. Pero estoy seguro de que hay muchos, muchos matemáticos más inteligentes que yo que estarían en total desacuerdo con algún punto, o incluso con todo. Creo que este es un campo en el que es fácil generar discusiones acaloradas, así que quiero dejar claro que todo lo que se expone a continuación refleja mis propias opiniones, y que soy consciente de que estoy sujeto a una serie de prejuicios, tanto matemáticos como filosóficos.

Bien, déjame aclarar lo que quise decir con ese comentario. Ciertamente, su interpretación ingenua es descaradamente falsa, y podría haberla escrito mucho mejor, pero sí quise decir algo con ella, y lo mantengo.

Por cierto, creo que es posible leer esto como una antiteoría. Esa no es definitivamente mi posición - Me considero un teórico de los conjuntos (y un teórico de la computabilidad, ¡pero eso es menos relevante en este momento! Incluso creo que las matemáticas podría beneficiarse de que un mayor número de miembros de la comunidad se ocupara más seriamente de las cuestiones de teoría de conjuntos lo que digo a continuación es descriptivo, no prescriptivo.

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Es muy conocido que la mayor parte de las matemáticas no se preocupan por las cuestiones fundacionales; creo, por ejemplo, que la gran mayoría de los matemáticos serían incapaces de enunciar los axiomas de ZFC. ¡Y eso está bien! Las matemáticas son muy anteriores a la aparición de un fundamento generalmente aceptado, y hay y seguirá habiendo desafíos a ese (o a cualquier) fundamento (hablo en particular de la teoría de tipos de homotopía, de la que no sé nada pero he oído que es muy chula y fundamentalmente no sobre los conjuntos; tal vez alguien que lo sepa mejor pueda intervenir aquí).

Pero yo afirmé algo más fuerte, que la mayoría de las matemáticas no son sobre conjuntos. Entonces, ¿en qué sentido los matemáticos no hablan de conjuntos? Bueno, obviamente lo hacemos en cierto sentido, por ejemplo, un grupo se define universalmente como "un conjunto tal que ". Lo que quiero decir es que esta definición es vago - la noción de lo que es un "conjunto" aquí es la ingenua, y la teoría de conjuntos ingenua es inconsistente. Así que mientras los matemáticos utilizan la palabra el uso de cualquier noción precisa de conjunto es generalmente no parte de la práctica matemática - se acepta que cualquier uso natural de los conjuntos no se enfrentará a las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua, y será formalizable de forma rutinaria (aunque tediosa) en, digamos, ZFC.

Así que mi punto es que mientras los matemáticos usan el concepto informal de "set" por todas partes, la mayoría de las veces no utilizamos ningún noción precisa de "conjunto". Pero la cosa se pone peor: hay partes de las matemáticas muy utilizadas que son fundamentalmente no teórico de conjuntos en el sentido de que plantearlas en términos de teoría de conjuntos es extremadamente antinatural: por ejemplo, ¿se realmente ¿pensar en un número real como una clase de equivalencia de secuencias de racionales? Exigir una base teórica de conjuntos significa abandonar estructuralismo ; como teórico de conjuntos, apruebo esto, pero también reconozco que al hacerlo estoy rompiendo con un gran número de matemáticos, si no con la mayoría. Véase también aquí y aquí .

Lo que sostengo, en resumen, es lo siguiente: aunque el concepto informal de "conjunto" es, por supuesto, universal en las matemáticas, en gran medida las matemáticas son se opuso a a trabajar en cualquier formalización específica del concepto, en lugar de aceptar como una cuestión de práctica que la parte de la teoría de conjuntos ingenua que se invoca será consistente. En particular, mucha de la práctica matemática es fundamentalmente no teórica de conjuntos.

Answer 2

Se puede pensar en la teoría de conjuntos como un lenguaje de programación de bajo nivel como Assembly; trabaja directamente con conjuntos de forma análoga a como Assembly trabaja directamente con bits y bytes. Algunas personas trabajan con lenguajes de programación de bajo nivel, como la gente que necesita escribir compiladores o sistemas operativos o lo que sea (me lo estoy inventando totalmente, ya que no soy programador), pero la mayoría de la gente se conforma con trabajar con lenguajes de programación de alto nivel, como Python. En cierto sentido, éstos se basan en lenguajes de programación de bajo nivel (algo tiene que ejecutar el intérprete de Python), pero

1. el nivel bajo ha sido abstraído para que no tengas que pensar en ello, del mismo modo que no necesitas aprender cómo funciona tu sistema operativo para programar en Python, y

2. el nivel bajo podría ser reemplazado por otra cosa, y mientras siga siendo lo suficientemente bueno para soportar el nivel alto, no importa realmente, de la misma manera que puedes programar en Python tanto en una máquina Windows como en una Mac.

Así que sí, en cierto sentido es cierto que cuando haces matemáticas estás (normalmente) tratando en secreto con conjuntos, del mismo modo que en cierto sentido es cierto que cuando estás programando estás manipulando secretamente bits en tu ordenador físico. Pero la mayoría de la gente no quiere ni necesita pensar en todas las capas de abstracción de esa manera, porque / y no importa cómo es la capa inferior de abstracción, siempre y cuando pueda ejecutar las capas por encima de ella.

Answer 3

La mayoría de las matemáticas pueden ser traducido en alguna teoría de conjuntos adecuada, como ZFC. Eso es cierto. Sin embargo, es totalmente diferente de la afirmación de que la mayoría de las matemáticas se ocupa de conjuntos. Desde el punto de vista de ZFC, por supuesto que es cierto porque en ZFC no hay nada más que conjuntos. Pero en realidad, la mayoría de las matemáticas ordinarias puede traducirse en un sistema muy muy débil llamado ACA que no tiene una noción interna de conjuntos de conjuntos. Además, existen sistemas alternativos como teorías de tipo que algunos lógicos incluso sostienen que es más natural que la ZFC como fundamento de las matemáticas. Esto es, naturalmente, una opinión subjetiva, pero el hecho objetivo es que, efectivamente, hay diferentes sistemas formales que pueden "hacer lo mismo", por así decirlo, aunque uno pueda "pensar" en todo como conjuntos mientras que otro "piensa" que hay ureles .

En última instancia, estoy de acuerdo con el punto principal de Qiaochu Yuan de la respuesta. A saber, que las matemáticas se basan casi siempre en estructuras existentes que obedecen a algunas propiedades. En el caso de la teoría elemental de los números, no nos importa cuáles son los internos de cada número natural, siempre que la colección de números naturales junto con las operaciones aritméticas sobre ellos, en su conjunto, satisfagan los axiomas de Peano. Este abstracción sería una razón válida para decir que la mayoría de ellos cuando usamos números naturales no tratamos realmente con conjuntos, ya que no importa incluso si los números naturales son ureles.

Por supuesto, esto refleja la idea de la programación de que escribimos programas de alto nivel y no nos ocupamos de las instrucciones de la CPU en el sentido de que no nos importa realmente cómo se traducen nuestros programas a las instrucciones de la CPU. Sólo nos importa que nuestro programa se comporte de una manera determinada únicamente por el lenguaje de programación de alto nivel. Tomemos el ejemplo de Java. En diferentes máquinas se traduce necesariamente a diferentes instrucciones de la CPU, pero eso lo hace el entorno Java; en nuestros términos, el lenguaje Java es la abstracción que nos libera de las preocupaciones "bare-metal". Del mismo modo, nuestras axiomatizaciones matemáticas (como PA para los números naturales) nos liberan de las preocupaciones fundacionales.

Por último, trabajar con abstracciones tiene una gran ventaja sobre las implementaciones subyacentes. Si alguna vez deseamos utilizar un sistema fundacional diferente por la razón que sea, la abstracción hace que sea mucho más fácil identificar qué partes se transfieren sin cambios al nuevo sistema. De hecho, podemos razonar con precisión sobre esa transferencia general mediante interpretabilidad .