¿Qué operación repite resultados de tiempos de $n$ en el operador de suma?

Question

Tuve un tiempo difícil en el fraseo mi pregunta. Pero me preguntaba si hay una operación que, cuando se repite n veces, los resultados en el operador de adición. Misma manera como la repetición de la adición de n veces resultados en el operador de multiplicación, y la repetición de la multiplicación de n veces resultados en el operador de exponenciación, etc.

Por lo $n$ veces adición de un número $x$ resultados en $x\times n$.

Y $n$ veces la multiplicación de un número $x$ resultados en $x^n$

Entonces mi pregunta es $n$ veces ...lo... los resultados en el número de $x+n$.

Vamos a llamar a este operador: $@$.

Por ejemplo, el siguiente sería, a continuación, mantenga:

$$a\times a=a^2$$

$$a+a=a\times 2$$

$$a@a=a+2$$

Mi pregunta es, ¿ tiene sentido que el pensamiento de un operador, ¿se sabe algo de ella, puede ser seguido a través de aún más como $a\sim a = a@2$?

Answer 1

Quieres un operador $@$ tal que para todos los $n\in\Bbb N$, $$\underbrace{a\mathop @a\mathop @\ldots\mathop @ a}_n = a+n.$$

El primer problema con este es el caso de la $n=1$ (por no hablar de $n=0$), donde la demanda de $a=a+1$ (en analogía a$a = a\cdot 1$$a=a^1$). Así que debemos abandonar el caso $n=1$.

El siguiente problema es que no hemos de especificar si $@$ debe ser asociativa. Y si no: ¿que queremos decir $(a\mathop @ a)\mathop @ a = a+3$ o $a\mathop @ (a\mathop @ a) = a+3$? Vamos a tratar de lograr la asociatividad. Entonces necesitamos $$\begin{align}a\mathop @a&=a+2 \\ (a+n)\mathop @a &= a+n+1&\text{for }n\ge 2\\ a\mathop @(a+n) &= a+n+1&\text{for }n\ge 2\\ \end{align}$$ Este hecho nos permite extraer una definición completa de $@$: $$a\mathop @ b=\begin{cases} \max\{a,b\}+1&\text{if }a\ne b\\ a+2&\text{if }a=b\end{casos} $$ (donde los casos con $b=a\pm 1$ son irrelevantes).

Answer 2

Sí que es.

La función de sucesor $s$ hacer que donde:

$$\forall n\in\mathbb Z,\quad s(n)=n+1$$

y $s(0)=0$.

Tienes más información aquí.

Gracias a un comentario, usted también podría estar interesado en este.

Aunque no se puede definir este operador como una relación binaria como te gustaría que definirse.

Answer 3

Este es un tema estudiado en ciertos círculos, y se conoce como Zeration. Se considera el $0$-ésimo nivel de la extensión de la Hyperoperation de la familia. A menudo nosotros simplemente vemos Zeration, simplemente para ser el Sucesor de la Función , como se define en los Axiomas de Peano.

Sin embargo, otras definiciones de Zeration han sido estudiados. Una gran forma de comenzar es buscar en la Tetration Foros; en particular, os recomiendo este post. Algunos fragmentos de esa página son:

En el muy simple sentido común de nivel, zeration es un intento por encontrar una operación de llenado de la brecha en las siguientes operaciones' de la secuencia:

$a ^ a = a [3] a = a [4] 2 = {}^2a \implies$ exponenciación $\leftrightarrow$ tetration
$a\times a = a [2] a = a [3] 2 = a ^ 2 \implies$ multiplicación $\leftrightarrow$ exponenciación
$a + a = a [1] a = a [2] 2 = a \times 2\implies$ $\leftrightarrow$ multiplicación

que debe ser, lógicamente, completado por una nueva operación a la que se le puede llamar zeration (lo que indica que por el infijo signo "$\circ$") y que al menos debería tener el siguiente "extraño" de la propiedad:

$a \circ a = a [0] a = a [1] 2 = a + 2\implies$ zeration $\leftrightarrow$.

Tenga en cuenta que la notación $a[n]b$ es común a Hyperoperation notación, ${}^2a$ es Tetration. He editado la cita para agregar MathJax formato. El símbolo "$\circ$" es el símbolo@. Continuando en ese enlace, nos encontramos con los siguientes:

El teórico manera para que justifican esta nueva operación es proporcionada por la Función de Ackermann. De hecho, la definición de la Función de Ackermann (AF) se pueden resumir [sic] de la siguiente manera:

$A(0, n) = n + 1$
$A(s, 0) = A(s-1, 1)$
$A(s, n) = A(s-1, A(s, n-1))$

De seguir adelante, llegamos al meollo del post

Con el provisional excepción de la fila $s=0$, podríamos re-definir la Función de Ackermann como sigue:

$A(s, n) = 2 [s] (n + 3) – 3$ o de:
$2 [s] n = A(s, n-3) + 3$

Para $s=0$ tenemos:
$A(0, n) = 2 [0] (n + 3) – 3 = n + 1$ (zeration)
lo que da: $2 \circ (n+3) = n + 4$ por lo tanto:$2 ° n = n + 1$, ($n \ge 3$)
a lo que podemos añadir: $2 \circ 2 = 2 + 2$ y: $n \circ n = n + 2$

Podemos empezar a usar estas expresiones con el fin de encontrar la primera de las propiedades de la "zeration" la operación, que puede ser descrito de la siguiente manera:

$a \circ b = a + 1$ si $a > b $
$a \circ b = b + 1$ si $a < b $
$a \circ b = a + 2 = b + 2$ si $a = b$

Si sigues leyendo la página que he enlazado usted encontrará una amplia discusión de otras interpretaciones y definiciones de Zeration, incluyendo las diferentes propiedades de una función de este tipo podría ser espera (en particular, tener una inversa!). Tenga en cuenta que gran parte de la Tetration los Foros son un polémico tema, pero parece ser la mejor tesoro de información sobre este tema en el que se encuentra. Otras definiciones que se han propuesto incluir $$ a\circ b = \begin{cases} b+1, & b>a+1 \\ a+2, & b \le a+1 \end{casos}$$
Así como el clásico $$ a\circ b = \begin{cases} \max(a,b)+1, & a \neq b \\ a+2=b+2, & a=b \end{casos}$$
El segundo de los cuales está cubierto en @Hagen post

Answer 4

Si pudiéramos utilizar el operador '$\times$' de la multiplicación y división operador '$/$' para llegar a esta @ operador, entonces

$\underbrace{x@x@...@x}_n=n \times ((x/n) +1)=x+n$ for $n \neq 0,1$.

Las discrepancias se producirán en $n=0$ y $n=1$ $n=1$ llegaremos a $x=x+1$ y $n=0$, $ x/n$ será indefinido.