Si una matriz se conmuta con un conjunto de otras matrices, ¿qué conclusiones pueden extraer?

Question

Tengo un ejemplo muy concreto de un libro sobre la mecánica cuántica por Schwabl, en el que afirma que un objeto que conmuta con todas las matrices gamma cuatro,

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i\\ 0 & 0 & i & 0\\ 0 & i & 0 & 0\\ -i & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}, $$ debe ser un múltiplo veces la matriz de la unidad. Estas matrices no parecen abarcar todas las matrices 4 x 4 así que ¿por qué este sería el caso? He pedido todo, pero nadie parece saber la respuesta.

Answer 1

Llame a su % de cuatro matrices $A,B,C,D$respectivamente. Mientras que en realidad no abarcan $M_4(\mathbb C)$, el punto es el álgebra que generan es el espacio de la matriz entera. Por lo tanto, toda matriz que conmuta con $A,B,C,D$ a su vez debe viajar con todos los miembros de $M_4(\mathbb C)$. De hecho, si ponemos $X=\frac{B\,(AC-C)\,A}{2i}$ y $Y=\frac{B\,(AC+C)\,A}{2i}$, la base canónica de $M_4(\mathbb C)$ puede obtenerse como polinomios en $A,B,C,D$:\begin{align*} E_{11}&=\frac12(X^2+X),&E_{14}&=E_{11}B,&E_{13}&=E_{11}D,\\ E_{22}&=\frac12(X^2-X),&E_{23}&=E_{22}B,&E_{24}&=-E_{22}D,\\ E_{33}&=\frac12(Y^2+Y),&E_{32}&=-E_{33}B,&E_{31}&=-E_{33}D,\\ E_{44}&=\frac12(Y^2-Y),&E_{41}&=-E_{44}B,&E_{42}&=E_{44}D,\\ E_{12}&=E_{13}E_{32},\\ E_{21}&=E_{24}E_{41},\\ E_{34}&=E_{31}E_{14},\\ E_{43}&=E_{42}E_{23}. \end{align*}

Answer 2

Considere la matriz $ A =\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix}. $$

Entonces, si $A$ conmuta con tu primera matriz, entonces $$\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{bmatrix} $$ en otras palabras, $$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\ -a_{31}&-a_{32}&-a_{33}&-a_{34}\\ -a_{41}&-a_{42}&-a_{43}&-a_{44} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&-a_{13}&-a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&-a_{23}&-a_{24}\\ a_{31}&a_{32}&-a_{33}&-a_{34}\\ a_{41}&a_{42}&-a_{43}&-a_{44} \end{bmatrix} $$ esto te dice que $a_{31}=0=a_{32}=a_{41}=a_{42}=a_{13}=a_{14}=a_{23}=a_{24}$. Ya, $A$ se simplifica considerablemente. La segunda matriz da $a_{11}=a_{33}$, $a_{12}=a_{34}$, $a_{21}=a_{43}$ y $a_{22}=a_{44}$. A continuación, seguir adelante.

Answer 3

Por el ejemplo que dio, la conclusión se deduce de Schur del Lema desde la gamma matrices de formar una representación irreducible de la complejización de la álgebra de Clifford $Cl_{1,3}(\mathbf{R})_{\mathbf{C}}$. Esto viene al considerar representaciones irreducibles del grupo de Lorentz (específicamente la vuelta de la representación), que es el centro de las discusiones de la vuelta en la física.

Answer 4

Para dos matrices que conmutan, es necesario que cada matriz se conserva el espacio propio de la otra matriz (es decir, no puedo asignar parte de un espacio propio en un espacio propio). Como múltiplos de la matriz de identidad, de no cambiar subespacios propios y tienen todos los vectores en el mismo espacio propio, que conmuta con todas las otras matrices.

Si $A$ $B$ viaje, y se $x$ es un autovector de a $A$ con autovalor $\lambda$, entonces, $$ ABx=BAx=B\lambda x=\lambda Bx $$ y por lo tanto $Bx$ debe ser también un vector propio de a $A$ con el mismo autovalor... o un vector cero.

Supongamos que $v=(a,b,c,d)$ es un autovector de nuestra matriz. Entonces debemos encontrar, en el mismo espacio propio, $(a,b,-c,-d)$, $(d,c,-b,-a)$, $(-d,c,b,-a)$, y $(c,-d,-a,b)$ - (he bajado el $i$ a partir de la tercera matriz, ya que es sólo una constante multiplicador).

Sumar y restar el centro de los dos juntos, también podemos ver que $(0,c,0,-a)$ debe ser en el espacio propio, como debe $(d,0,-b,0)$. Al menos uno de estos debe ser distinto de cero. Supongamos que $(0,c,0,-a)$ es distinto de cero.

A continuación, podemos ver también que $(0,c,0,a)$ está en el subespacio propio (de la primera matriz), y por lo tanto $(0,c,0,0)$ $(0,0,0,a)$ están en el espacio propio. Supongamos que $(0,0,0,a)$ no es cero, y por lo tanto $(0,0,0,1)$ está en el subespacio propio. Ahora, a partir de la última matriz, $(0,0,1,0)$ está en el subespacio propio. A partir de la tercera matriz, podemos determinar que $(0,1,0,0)$ $(0,0,0,1)$ están en el espacio propio.

Un análisis similar funciona si usted asume $b$, $c$, o $d$ es distinto de cero.

Por lo tanto, el espacio propio es el conjunto de todos 4D vectores, todos compartiendo el mismo autovalor. Esto nos dice que nuestra matriz debe ser la matriz identidad multiplicada por que autovalor.

Answer 5

La primera condición para ir al trabajo con $diag(1,1,-1,-1)$ determina ya $8$ coeficientes del "objeto" a ser cero. De hecho realmente es una cuestión de cómputo entonces a ver que la matriz tiene que ser un múltiplo de la identidad. Esto también demuestra que la generación de la álgebra de la matriz completa es no lo mismo que obligar a la matriz que escalar. Desplazamientos con $4$ dado matrices aquí ya son suficiente, aunque $dim M_4(K)=16$.