Me he enseñado en un péndulo simple, pequeño $x$, $\sin x \approx x$. Luego derivamos la fórmula para el período del péndulo. Pero todavía no entiendo la física detrás de él. Además, no hay ningún ángulo $x$ implicado en un sistema masa resorte, entonces ¿por qué consideramos un SHM sólo para pequeñas amplitudes?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un péndulo simple no estrictamente mostrar el movimiento armónico simple a menos que permitir algunas aproximaciones e incertidumbres. Aproximadamente se comporta como un oscilador armónico para pequeñas amplitudes.
Un objeto se dice que la ejecución de un movimiento armónico simple (sin amortiguamiento; no una oscilación forzada) si y sólo si satisface la siguiente condición:
$$\frac{d^2 \phi}{dt^2} = -\omega^2 \phi \tag{1}$$
donde $\phi$ es una cantidad variable, tales como el desplazamiento, desplazamiento angular, etc.
Hace un péndulo ejecutar un movimiento armónico simple?
La ecuación de movimiento del péndulo puede ser escrita como:
$$\vec{F} = {m\vec{g}} - \vec{T}$$
Sabemos que el péndulo bob se mueve en un círculo (suponga que la cuerda no se estira), por lo tanto, no hay movimiento en la dirección de la cadena. Esto significaría que la fuerza neta sobre el bob se utiliza para proporcionar una constante de la fuerza centrípeta.
$$F_{radial} = T - mg\cos \theta = \frac{mv^2}{L}$$
La aceleración a lo largo de la circunferencia de la cadena puede ser escrita como:
$$F_{tangential} = ma = mg \sin \theta$$
$$a_{tangential} = a = g \sin \theta \tag{2}$$
La tangencial de la aceleración se puede expresar en términos del ángulo de $\theta$ como sigue:
$$v = L \frac{d\theta}{dt}$$ $$\frac{dv}{dt} = a = -L\frac{d^2\theta}{dt^2} \tag{3}$$
Tenemos un signo menos debido a la fuerza de gravedad (aceleración) siempre intenta disminuir el ángulo de $\theta$.
Sustituyendo $(3)$$(2)$, se obtiene,
$$L\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g \sin \theta \tag{4}$$
Si se compara la ecuación de $(4)$ con la ecuación de $(1)$, te darás cuenta de que no coincide.
Esto significaría que el péndulo bob no se ejecuta un movimiento armónico simple.
Sin embargo, si la amplitud es pequeña, entonces el valor máximo de $\theta$ es pequeña. El pequeño ángulo de aproximación puede ser enunciada de la siguiente manera:
$$\sin \theta \approx \theta$$
Fuente De La Imagen: Wikipedia
El uso de la aproximación, se puede reescribir la ecuación de $(4)$
$$L\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\theta \tag{5}$$
La ecuación anterior es muy similar a la ecuación de $(1)$. Hace encajar a la perfección. Por lo tanto, para pequeñas amplitudes, el péndulo se ejecuta un movimiento armónico simple con una razonable incertidumbre.
Hace un sistema masa-resorte ejecutar un movimiento armónico simple?
Si el resorte que obedece a Hooke la ley, entonces siempre se ejecuta un movimiento armónico simple.
Hooke la ley establece que:
$$F_{restoring} = ma = - kx \tag{6}$$
Es claramente evidente a partir de la ecuación anterior que la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento y actúa en dirección opuesta al desplazamiento.
Por qué limitar la amplitud de un sistema masa-resorte?
Bajo de alta tensión, la primavera no obedece a la ley de Hooke. Esto es un poco obvio: si se estira un resorte demasiado, se deforma permanentemente. Por lo tanto, la ecuación de $(6)$ ya no se sostiene. Si la ecuación no se sostiene, entonces la masa no se ejecuta un movimiento armónico simple.
Andrea Di Persio
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1226
¿Por qué un péndulo simple o un sistema masa-resorte muestran simple el movimiento armónico (SHM) sólo para pequeñas amplitudes?
El movimiento armónico Simple (en una dimensión) es, por definición, una solución a la ecuación genérica $$\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0,$$ donde $x$ es un genérico variable (puede ser por ejemplo un desplazamiento o un ángulo). Esta ecuación de movimiento puede ser obtenido a partir de la segunda ley de Newton $$m\frac{d^2x}{dt^2}=F=-\frac{dU}{dx},$$ donde el último signo igual tiene para las fuerzas conservadoras, con $U$ la energía potencial.
Por lo tanto, podemos comparar $$\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{1}{m}\frac{dU}{dx}=0,$$ con la ecuación de definición de la SHM y ver que esto requiere que el potencial de $U$ a ser de segundo grado en $x$.
Ni un péndulo simple o una verdadera primavera tiene un potencial que es cuadrática (o parabólica) alrededor de un punto de equilibrio. Sin embargo, en una lo suficientemente pequeña región alrededor del equilibrio (fuerza cero y mínima de la potencial) podemos Taylor expandir el potencial de segundo orden que da un potencial parabólico. Para comprender esto, considere la siguiente figura,
Este es un genérico potencial que definitivamente no es de la forma requerida para una SHM. Sin embargo, observe que podemos ajustar una parábola (línea de puntos) alrededor del punto de equilibrio estable como $x_0$. En la vecindad del punto de equilibrio $x_0$ tenemos la expansión, $$U(x)=U(x_0)+\frac{dU(x_0)}{dx}(x-x_0)+\frac{1}{2}\frac{d^2U(x_0)}{dx^2}(x-x_0)^2+\mathcal O(\Delta x^3),$$ donde $\mathcal O(\Delta x^2)$ significa que estamos descuidando términos de orden $(x-x_0)^3$ o mayor. Desde la primera derivada del potencial en $x_0$ da la fuerza a $x_0$ (que es cero), ese término se desvanece. Nos quedamos con $$U(x)=U(x_0)+\frac 12 k(x-x_0)^2++\mathcal O(\Delta x^3),$$ y desde $U(x_0)$ es irrelevante término aditivo, y $k=frac{d^2U(x_0)}{dx^2}$ es constante, este cuadrática potencial es exactamente la característica potencial de SHM. Cerca de $x_0$ da una lineal y fuerza de restauración. Sin embargo, nótese que esta aproximación no se sostiene para los desplazamientos arbitrarios. En algún punto de $x-x_0$ es tan grande que los términos de orden superior tienen que ser tomadas en cuenta.
Para un péndulo simple, el potencial es $-mgl\cos x$ ($x$ ser un ángulo), cuya expansión a dos de orden dos en todo el equilibrio $x=0$ da una parábola. Para una verdadera primavera, el potencial puede ser aún más complicado, en general se trata de una suma de términos $a_nx^{2n}$. Luego de una pequeña región podemos caída de los términos de orden superior y mantener sólo el líder de uno de los $a_1x^2$ que da el Gancho de la Ley.
user2158735
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9
Sólo significa que el péndulo se va a ejecutar solo SHM con pequeños ángulos para que el péndulo subtienda como que oscila.
Para grandes ángulos de movimiento del péndulo se desvía de ser armónico simple; es por eso que el pequeño ángulo de aproximación es necesaria la derivación.
EDITAR:
Incluso para una horizontal sistema de masa-resorte el desplazamiento de la masa de su posición de equilibrio no puede ser demasiado grande, de lo contrario el simple movimiento armónico deja de ser válido.
Pero si teniendo en cuenta un péndulo sometidos SHM o un sistema de masa-resorte el desplazamiento desde la posición de equilibrio es $\propto$ a la negativa de la aceleración a hacia el punto de equilibrio, ya que estos son en direcciones opuestas, que es el motivo por el signo menos.
