La transformación lineal de un vector $v$ está dado por una matriz de vectores multiplicación $Tv$ $T_{n\times n}$ es el lineal mapa.
Esto puede ser expresado como
$$\begin{bmatrix}
|&|&\cdots&| \\
T_{1\downarrow} &T_{2\downarrow}&\cdots& T_{n\downarrow} \\
|&|&\cdots&| \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_1\\v_2\\\vdots\\v_n
\end{bmatrix}
=v_1 T_{1\downarrow}+v_1 T_{2\downarrow}\cdots+v_1 T_{n\downarrow}
$$
Una matriz AA es singular si y sólo si, 00 es un autovalor.
Por lo tanto, si usted tiene un (al menos uno) autovalor cero, entonces su lineales mapa es de rango inferior, que es equivalente a una matriz con una (al menos uno) cero de la columna, por lo $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$ donde $m<n$ y por lo tanto no tiene representación única en $\mathbb{R}^n$ - un grado de libertad.
Cuando una matriz tiene en la repetición de una autovalor, decir $\lambda_1=\dots\lambda_k, k<n$. Uno dice que es uno de una expresión algebraica multiplicidad $k$. La suma de las multiplicidades algebraica debe ser igual a $n$, pero no necesariamente el número de autovalores. Un autovalor de multiplicidad algebraica $k$ han $\le k$ vectores propios . El número de vectores propios de valor propio se llama multiplicidad geométrica de que autovalor. Cuando la multiplicidad geométrica de un autovalor es igual a su multiplicidad algebraica no hay ningún problema. Cuando la multiplicidad geométrica menor que la multiplicidad algebraica de la matriz\transformación no es diagonalizable, que es la base de vectores propios es la falta de un vector(s). Este\estas falta de vectores(s) puede ser añadido y se llama generalizada eivenvector, pero no existe una única manera de hacerlo - por lo tanto un grado de libertad y, por supuesto, no unicidad.
Tenga en cuenta que debido a la ortogonalidad\unitarity de $UU^T=I$, $VV^T=I$ y
$(UV^T)(VU^T)=I$ , lo que implica
$det(U)=det(U^T)=\pm1$, $det(V)=det(V^T)=\pm1$ y
$det(UV^T)=\pm1$ , independientemente de la multiplicidad algebraica de los valores propios.
Así que si $det(UV^T)=-1$ tenemos $det(U)=-det(V)=\pm1$
Ahora la pregunta es ¿por qué tienen signo diferente cuando hay un valor propio que tiene una multiplicidad geométrica inferior, a continuación, su multiplicidad algebraica. La respuesta está oculta en $det U \Sigma V^t$, ver aquí.
