Evaluar el contorno % integral $\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}(x)}{x^{3}}\mathrm dx$

Question

Estoy tratando de mostrar

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}(x)}{x^{3}}\mathrm dx = \frac{3\pi}{8}.$$

Creo que el contorno que debo utilizar es un semicírculo en el plano medio superior con una ligera protuberancia en el origen, por lo que echo de menos la singularidad.

Por último tengo la sugerencia a considerar %#% $ #%

alrededor del contorno que he mencionado. ¡Gracias por cualquier ayuda o consejos!

Answer 1

Su coutour funciona a la perfección, así que me pregunto ¿por qué estás dudando de proceder a su cálculo. De todos modos, aquí hay una solución:

Desde $\sin^3 z = (\sin 3z - 3\sin z)/4$, tenemos $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin^3 x}{x^3} \, dx = \frac{1}{8} \Im \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\mathbb{R} \backslash (-\epsilon, \epsilon)} \frac{3 e^{iz} - e^{3iz} -2}{z^3} \, dz,$$ donde el término " $-2$ es introducido en la orden de cancelar el polo de orden 3, sin afectar el valor de la integral. Considerar la izquierda orientado a la parte superior del semicírculo $C$ radio $R$, centrada en el origen, con forma semicircular, guión de radio $\epsilon$. Deje $\Gamma_{R}^{+}$ $\gamma_{\epsilon}^{-}$ denotar arcos semicirculares de $C$ radio $R$$\epsilon$, respectivamente. Si ponemos $$f(z) = \frac{3 e^{iz} - e^{3iz} - 2}{z^3},$$ a continuación,$\int_{\Gamma_{R}^{+}} f(z) \, dz \to 0$$R \to \infty$$R \to \infty$, e $\int_{\gamma_{\epsilon}^{-}} f(z) \, dz \to -\pi i \, \mathrm{Res}_{z = 0} f(z)$$\epsilon \to 0$. Desde $f(z)$ no tiene ningún polo en la región delimitada por $C$, tenemos $$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{\mathbb{R} \backslash (-\epsilon, \epsilon)} \frac{3 e^{iz} - e^{3iz} - 2}{z^3} \, dz = \pi i \, \mathrm{Res}_{z = 0} f(z) = 3\pi i.$$ Esto demuestra el deseo de identidad.

Answer 2

$$ {\rm J}\left(\alpha\right) \equiv. \int_{-\infty}^{\infty}{\sin^{3}\left(\alpha x\right) \sobre x^{3}}\,{\rm d}x\,, \qquad\qquad {\rm J}\left(0\right) = 0\,,\quad {\rm J}\left(1\right) = ? $$

$$ {\rm J}'\left(\alpha\right) = {3 \over 2}\int_{-\infty}^{\infty} {\sin\left(\alpha x\right)\sin\left(2\alpha x\right) \sobre x^{2}}\,{\rm d}x = {3 \más de 4}\int_{-\infty}^{\infty} {\cos\left(\alpha x\right) - \cos\left(3\alpha x\right) \sobre x^{2}}\,{\rm d}x $$

$$ {\rm J}"\left(\alpha\right) = {3 \más de 4}\int_{-\infty}^{\infty} {-\sin\left(\alpha x\right) + 3\sin\left(3\alpha x\right) \sobre x}\,{\rm d}x = {3 \más de 4}\,2\pi\,{\rm sgn}\left(\alpha\right) = {3 \over 2}\,\pi\,{\rm sgn}\left(\alpha\right) $$

$$ {\rm J}'\left(\alpha\right) = {3 \over 2}\,\pi\left\vert\alpha\right\vert\,, \quad {\rm J}\left(1\right) = \int_{-\infty}^{\infty}{\sin^{3}\left(x\right) \sobre x^{3}}\,{\rm d}x = {3 \over 2}\,\pi\int_{0}^{1}\left\vert\alpha\right\vert\,{\rm d}\alpha = {3 \más de 4}\,\pi $$

$$ \int_{0}^{\infty}{\sin^{3}\left(x\right) \sobre x^{3}}\,{\rm d}x = {1 \over 2}\,\int_{-\infty}^{\infty}{\sin^{3}\left(x\right) \sobre x^{3}}\,{\rm d}x = {3 \más de 8}\,\pi $$

Answer 3

$\int \frac{\sin^3x}{x^3}\,\mathrm dx$

$=\frac{1}{4}\int\frac{3\sin x-\sin3x}{x^3}\,\mathrm dx$

$=\frac{1}{4}\left[(3\sin x-\sin3x)(\frac{-1}{2x^2})+\frac12\int \frac{3\cos x-3\cos3x}{x^2}\right]\,\mathrm dx$

$=\frac14\left[(3\sin x-\sin3x)(\frac{-2}{x^2})+\frac32\left[(\cos x-\cos3x)(\frac{-1}{x})+\int \frac{-\sin x+3\sin3x}{x}\right]\right]\,\mathrm dx$

$=\frac14\left[(3\sin x-\sin3x)(\frac{-2}{x^2})+\frac32(\cos x-\cos3x)(\frac{-1}{x})+\frac32\int \frac{-\sin x+3\sin3x}{x}\right]\,\mathrm dx$

Límites $x=0$ $x \to \infty$ los dos primeros términos desaparecen y [cada uno se desvanece para ambos los límites].

El tercer término, en teniendo en cuenta el % integral $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\, \mathrm dx=\pi/2$se evalúa como:

$\frac{3}{8}[-\pi/2+3\pi/2] $

$=\frac{3\pi}{8}$