Un Homeomorfismo del plano tiene un punto periódico si sale un compacto conjunto invariante

Question

Que $h$ ser un Homeomorfismo de $\mathbb{R}^2$ a sí mismo tal que $h(K)=K$ % subconjunto compacto $K$$\mathbb{R}^2$. Mostrar que $h$ tiene un punto periódico en $\mathbb{R}^2$.

Mi idea es considerar una secuencia $x, f(x),ff(x),...$ $x\in K$, $K$ es compacto esta secuencia tiene un clúster punto $K$. Pero yo no podía ir más lejos.

Answer 1

El uso de la segunda Brouwer avión transformación teorema aparece en tu otro post. Si el mapa de punto fijo libre, entonces se podría transformar en un homeomorphisminto un mapa del plano en el que se acaba de traducción; sin embargo, la imagen del conjunto compacto sería compacto, y la traducción nunca se conserva un conjunto compacto (se podría conservar una línea infinita, pero no un conjunto compacto; ¿qué sería de la imagen de los puntos con mayor $x$-coordinar ser?)

Más específicamente, buscar a $\phi^{-1}(K)$ donde $\phi$ es el mapa discutido en Brouwer de transformación de avión teorema. Este conjunto es compacto, por lo que es acotado, por lo que finalmente la traducción no la conservan, de hecho hay un $n$ tal que $\tau^n (\phi^{-1}(K)))\cap \phi^{-1}(K)=\emptyset$. Pero $\phi\tau^n=h^n\phi$, por lo que tomar $\phi$ de los dos conjuntos en la última ecuación, vemos que $h^n(K)\cap K=\emptyset$.