Problema: Vamos a $y \in C^1([0,+\infty), \mathbb{R})$$\alpha >0$. Demostrar que $$ \lim_{t \to + \infty}(y'(t)+\alpha y(t))=0 \implies \lim_{t \to +\infty}y(t)=0$$
Voy a mostrar dos intentos que he hecho, dos de ellos no funcionó para mí
1er Intento: Vamos a $\alpha > 0$ tal que $$\lim_{t \to + \infty} (y'(t) + \alpha y(t))=0 \\ \implies \forall \epsilon >0, \exists S \in \mathbb{R}: \forall t \in [0, \infty) \text{ with } t\geq S \implies y'(t)+\alpha y(t) \leq \epsilon $$
Pero puedo trabajar fácilmente con $y'(t)+ \alpha y(t) \leq \epsilon$ multiplicando con $e^{\alpha t}$ uno encuentra fácilmente que $$ \left(y(t)e^{\alpha t}\right)' \leq \epsilon e^{\alpha t} $$ La integración de ambos lados y usando el hecho de que la integración conserva la desigualdad puedo obtener ese $$y(t) \leq \frac{\epsilon}{\alpha}+ C \exp(-\alpha t), \ \text{ for } C \in \mathbb{R} \\ \implies |y(t)| \leq \frac{\epsilon}{\alpha}+|C| \exp(-\alpha t) $$ Que parece prometedor en primer lugar, porque como $t \to + \infty$ la mayoría de término derecho se desvanece, sin embargo, la fracción de $\epsilon / \alpha$ no proporciona ninguna información útil, porque posiblemente $\alpha, \epsilon$ son arbitrariamente, por lo que no estoy seguro de si se trata de una rigurosa instrucción a decir "$\epsilon$ puede ser siempre menor que $\alpha$"
2º Intento: tenía la esperanza de que con la ayuda de Gronwall la desigualdad podía deshacerse de la falta de rigor de la anterior intento
La Desigualdad de Gronwall: Suponga que el $y'(t) \leq f(t) + g(t)y(t)$, luego tenemos a $$ y(t) \leq y(a) \exp \left( \int_a^t g(s)ds\right) + \int_a^t f(s) \exp \left( \int_s^t g(r)dr \right) ds $$
Así que hice uso de nuevo la única cosa que sé que es $y'(t) + \alpha y(t) \leq \epsilon $ y para aplicar Gronwalls Lema hice set $f(t)= \epsilon$ $g(t)=- \alpha$ todos los $t \in [0, \infty)$
Haciendo la integración necesaria para Gronwalls Desigualdad puedo obtener ese $$ y(t) \leq y(a) \exp(-\alpha (t-a)) + \frac{\epsilon}{\alpha} \left(1-\exp(-\alpha(t-a) \right)$$ Que de alguna manera demuestra que mi 1er intento fue igual de bueno/malo como mi 2º intento.
Cualquier sugerencias? Correcciones?
