resolver ecuación $y^{\alpha} + y^{1 + \alpha} = x$

Question

Cómo resolver esta ecuación:

$y^{\alpha} + y^{1 + \alpha} = x$ donde $\alpha \in (-1, 0)$

¿Hay truco para solucionarlo?

EDITAR. Quiero encontrar $y(x)$.

Answer 1

Lagrange de la inversión de la fórmula, más precisamente de Lagrange-Bürmann fórmula está hecha para esto.

La función de $y$ resuelve $y=z\phi(y)$,$z=x^{1/\alpha}$$\phi:t\mapsto(1+t)^{-1/\alpha}$. Desde $\phi(0)\ne0$, se sabe que una solución es $$y(x)=\sum_{n\geqslant1}a_nz^n=\sum_{n\geqslant1}a_nx^{n/\alpha},\qquad a_n=\frac1n[t^{n-1}]\phi(t)^n.$$ En el presente caso, para cada $\alpha$$(-1,0)$, $$a_n=\frac1n{-n/\alpha\elegir n-1}=-\frac{\alpha}n{-n/\alpha+1\elegir n},$$ y uno puede comprobar que el resultado de la serie converge para todos los $x$ tal que $|x|\gt R_\alpha$ con $$R_\alpha=\frac{(-\alpha)^\alpha}{(1+\alpha)^{1+\alpha}}.$$ Comprobación de validez: Si $\alpha=-\frac12$, se pone en $R_\alpha=2$, como era de esperar, ya que una fórmula explícita para $y(x)$ en este caso es $$y(x)=-1+\frac12x^2-\frac12x^2\sqrt{1-\frac4{x^2}}=\frac{1-\sqrt{1-\frac4{x^2}}}{1+\sqrt{1-\frac4{x^2}}}.$$ Editar: Para cada $\beta\gt0$$\gamma$, cuando se $n\to\infty$, $$\frac{\Gamma(\beta(n+1)+\gamma)}{\Gamma(\beta n+\gamma)}\sim \beta^\beta n^\beta.$$ Aplicando esto a cada función Gamma en la expresión de $$a_n=\dfrac{\Gamma(-n/\alpha+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(-n/\alpha-n+2)},$$ uno ve que los poderes de la $n$ cancelar y uno se queda con $$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(-1/\alpha)^{-1/\alpha}}{1^1\,(-1/\alpha-1)^{-1/\alpha-1}}=(-1/\alpha)\,(1+\alpha)^{(1+\alpha)/\alpha}=\varrho(\alpha).$$ Por lo tanto la serie $y(x)$ converge para cada $x$ tal que $\varrho(\alpha)|x|^{1/\alpha}\lt1$ y difiere para cada $x$ tal que $\varrho(\alpha)|x|^{1/\alpha}\gt1$. Desde $\alpha\lt0$, la primera condición lee $|x|\gt\varrho(\alpha)^{-\alpha}$ y la segunda condición lee $|x|\lt\varrho(\alpha)^{-\alpha}$. Desde $\varrho(\alpha)^{-\alpha}=R_\alpha$, la prueba está completa.

Answer 2

Dado que la clase de ecuaciones que incluye ecuaciones polinómicas de cualquier grado, tengo la sospecha de que un enfoque numérico sería necesario, por ejemplo, Newton-Raphson, y el valor de $x$ tendría que ser especificado. Con una tabla de valores de $x$, $y(x)$ podría ser construida por interpolación. Observe que si consideramos el caso de $\alpha=-1/n$ para un número natural $n>2$, la ecuación es equivalente a $z^n-xz+1=0$ donde $z=y^{1/n}$.

Answer 3

¿Por qué la solución paramétrica de parámetro s?: $x = \exp(s\alpha) [1+\exp(s)]$ y $y = \exp(s)$. Usted puede trazar estos fácilmente (yo usé Gnuplot). Tenga en cuenta que (x, y) = (2,1) está siempre en la gráfica y observe lo que sucede cuando $s \to \pm\infty$. Al menos tienes una idea de cómo parece y (x). O puede utilizar la fórmula de inversión de Lagrange alrededor del punto fijo para tener una idea sobre la explícita y (x). O puede invertir los ejes y Mírenlo como x(y) a la idea de cómo su trama parece directamente. ¡Saludos!