Construcción UltraPower de ${}^{\ast \ast}\Bbb R$

Question

Supongamos que queremos añadir elementos positivos que son más pequeños que todos los elementos positivos de la ${}^{\ast}{\Bbb R}$. Una forma de hacerlo, como se muestra en esta tesis, es la construcción de secuencias de elementos en ${}^{\ast}{\Bbb R}$ que el rango de más de ${}^{\ast}{\Bbb N}$ y encontrar un ultrafilter en ${}^{\ast}{\Bbb N}$, ${}^{\ast}{\mathcal U}$.

Podemos encontrar ultrafilter ${}^{\ast}{\mathcal U}$? Qué necesitamos para requerir que todos los conjuntos en ${}^{\ast}{\mathcal U}$ ser interno? O tenemos que vivir con un hoteles de versión, ${}^{\ast}\mathcal {P}{(\Bbb N)} \cap {}^{\ast}{\mathcal U}$?

El autor desea eliminar la posibilidad de construir un elemento positivo en ${}^{\ast}\Bbb R$ que es estrictamente menor que todos los elementos positivos de la ${}^{\ast\ast}\Bbb R$ excluyendo $\Bbb N$${}^{\ast} \mathcal U$. Pero a mí me parece que está lejos de ser suficiente. ${}^{\ast} \mathcal U$ no debe contener ningún elemento con la cardinalidad de a $\Bbb N$. Creo que lo que necesitas es un uniforme de ultrafilter en el que todos los elementos tienen la cardinalidad de a $2^{\aleph_0}$. ¿Es lo correcto?

Answer 1

¿Por qué usted necesita algo como ** R? Para definir un * integral de Riemann en intervalos infinitesimales. Y ¿por qué uno querría hacer eso? Debido a que es una forma de integrar sobre fractales, donde, por ejemplo, el Cantor se encuentra 2 ^ intervalos de longitud 2 de omega ^-omega. Ahora integran su función sobre cada uno de estos intervalos y agregarlos todos.

Answer 2

$^\star\mathbb{R}$ satisface sólo saturación contable, por lo que para vencerla basta para tomar un índice conjunto de cardinalidad del continuo en la construcción de ultraproduct, así que usando $^\star\mathbb{N}$ está muy bien. No es totalmente claro para mí por qué hay tal $^{\star\star}\mathbb{R}$.