Ayudar a resolver esta ecuación de Diophantine

Question

Para un problema que estoy trabajando, necesito resolver esta ecuación Diophantine:-

$ -2a^3 + b^3 + c^3 = 36650$ donde $a, b, c > 0$ son todos DISTINTOS números enteros positivos, y $a, b, c \notin$ { 2, 9, 15, 16, 33, 34}

¿Cómo solucionar esto? Es la fuerza bruta es el único camino posible? O podría haber un caso en el que no se entero de que existen soluciones para esta ecuación?

También, ¿hay alguna línea de sistemas de cómputo, que me permiten establecer restricciones, y resolver Diophantine ecuaciones de este tipo?

Cualquier ayuda es muy apreciada! Gracias!

Answer 1

Para su modificación pregunta $a^3 + b^3 + c^3 - 3d = -83449$, de hecho, hay infinitas soluciones.

Considera modulo 3,

$$a^3 + b^3 + c^3 \equiv 2 \mod 3$$

Ahora, sabemos que el modulo 3, el cubo es congruente a sí mismo, o $x^3 \equiv x \mod 3$.

Por lo tanto, la ecuación anterior se reduce a

$$a+b+c \equiv 2 \mod 3$$

Un triplete de $(a,b,c)$ que satisface la ecuación anterior es $(1,3,4)$. Podemos entonces calcular el valor de $d$, que simplemente es $27847$ en este caso.

Reordenando la ecuación anterior, ya que $3d=a^3+b^3+c^3+83449$, $d$ es positivo para cualquier positivos valores de $a,b,c$, lo que nos permite concluir que hay infinitas soluciones.