Asumir $a>0$
$$F\{e^{-a|t|}\}(\omega) = \frac{a\sqrt{\frac{2}{\pi}}}{a^2+\omega^2}$$
Sin embargo, he leído sobre otro par de transformación (página 3):
$$F\{e^{-a|t|}\}(\omega) = \frac{2a}{a^2+\omega^2}$$
Claramente no son iguales, cuando dejas que $a=2$, mathematica afirma la transformación es $\frac{1.60}{4+\omega^2}$, y la otra fuente afirma tiene $\frac{4}{4+\omega^2}$. ¿Que es el adecuado, y por qué se diferencian?
Tenga en cuenta que Mathematica y su enlace se utilizan diferentes definiciones de la transformada de Fourier.
Mathematica utiliza (usted puede ver esto en los "Detalles y Opciones" en la documentación): $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{- \infty}^\infty f(t) e^{j \omega t} dt$$ y su enlace se utiliza: $$\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-j \omega t} dt$$ por lo que la transforma difieren por un factor de $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$ y que Mathematica no tiene el signo negativo en el exponente.
En este caso podemos ver que la única diferencia es el factor de $\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$: $$\frac{a\sqrt{\frac{2}{\pi}}}{a^2+\omega^2} \bigg/ {\frac{2a} {a^2+\omega^2}} = \frac{a\sqrt{\frac{2}{\pi}}(a^2 + \omega^2)}{2a(a^2 + \omega^2)} = \frac{\sqrt{\frac{2}{\pi}}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}$$ así funciona.
Tenga en cuenta que debido al hecho de la falta el signo menos en el exponente, podemos obtener otras diferencias como, por ejemplo, Mathematica dice que la transformada de Fourier de $\operatorname{sign}(t)$ es $$\frac{j \sqrt{\frac{2}{\pi }}}{\omega} = - \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \underbrace{\frac{2}{j \omega}}_{:=A}$$ donde $A$ es lo que tu enlace dice que la transformación es. La diferencia adicional aquí es que tenemos un signo menos.
La definición que Mathematica utiliza tiene una ventaja en la que la inversa de la transformada de Fourier se ve muy similar a la transformada de Fourier: $$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{-j \omega t} d\omega.$$ No es sólo Mathematica que utiliza esta definición, se utiliza comúnmente.
Lo que usted desee, para obtener el mismo comportamiento en Mathematica como en su enlace, se establece FourierParameters a $\{1,-1\}$, lo FourierTransform[Exp[-a Abs[t]], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]devuelve
$$\frac{2 a}{a^2+\omega^2}$$
y FourierTransform[Sign[t], t, \[Omega], FourierParameters -> {1, -1}]devuelve
$$-\frac{2 i}{\omega}.$$
Tenga en cuenta que FourierParameters también puede ser usado con InverseFourierTransform. Los detalles de lo FourierParameters no se puede encontrar en la documentación de FourierTransform, en los "Detalles y Opciones".
Existen diferentes definiciones de la transformada de Fourier. La confusión proviene de Mathematica y su referencia utilizando diferentes definiciones para la transformada de Fourier. Son equivalentes a una constante. La mayoría de las personas, y el uso de Mathematica la definición: $$F[f](\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\omega}dx.$$ Otros utilizan la definición $$F[f](\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\omega}dx.$$ La razón de la diferencia viene de la inversa de la transformación. Si usamos la definición, la inversa de la transformación es: $$F^{-1}[f](x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(\omega)e^{ix\omega}d\omega.$$ La segunda definición de los rendimientos de un proceso inverso a la transformación de $$F^{-1}[f](\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(\omega)e^{ix\omega}d\omega.$$ Entonces note que ambas definiciones tienen un total coeficiente de $1/(2\pi)$. Diferentes personas tienen diferentes preferencias en cuanto a cómo hacer el balance el coeficiente entre la transformación y la inversa de la transformación.
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