¿Una rama de una raíz cuadrada determina una rama de un logaritmo?

Question

Supongamos que tengo una rama del logaritmo, es decir, una función continua $L(z)$ en alguna región $\Omega$ tal que $e^{L(z)} = z$ . Vemos que esto define una rama para la función raíz cuadrada en $\Omega$ , a través de $\sqrt{z} = \exp(1/2 L(z))$ ya que

$$(\exp(1/2 L(z))^2 = \exp(L(z)) = z$$

Me pregunto si es posible una especie de inversión de esto. Supongamos, por otro lado, que tenemos una rama para la raíz cuadrada, es decir, alguna función continua $R(z)$ en $\Omega$ tal que $R(z)^2 = z$ . ¿Hay alguna manera de obtener una rama del logaritmo de $R(z)$ ? Si es así, ¿se generaliza (es decir, qué ramas de las funciones multivaluadas determinarán una rama del logaritmo)?

Answer 1

Mientras que todo corte para la función raíz cuadrada es admisible como corte para el logaritmo en $\mathbb{C}\backslash\{0\}$ En el plano complejo sin el origen, sólo hay dos "estratos" de la función raíz cuadrada y un número contable de ellos para el logaritmo. Por tanto, no se puede decir que una rama de la función raíz cuadrada "determine" una rama del logaritmo, a menos que se quiera imponer simplemente alguna elección de ramas ad hoc.

Answer 2

Supongamos que $\Omega=\{z\in\mathbb{C}:z\nleq 0\}$ . Para $z\in\Omega$ , dejemos que $\mathrm{Arg}(z)$ indican el único $\theta\in(-\pi,\pi)$ tal que $z=|z|e^{i\theta}$ . Definir $R(z)=|z|^{1/2}e^{\frac{1}{2}\mathrm{Arg}(z)}$ . Esta es una rama de la raíz cuadrada.

Para cada $k\in\mathbb{Z}$ , $z\in\Omega$ , dejemos que $L_k(z)=\log|z|+i(\mathrm{Arg}(z) + 4\pi k)$ . Cada $L_k$ es una rama distinta del logaritmo, pero cada una debe satisfacer $R(z)=\mathrm{exp}(\frac{1}{2}L_k(z))$ .

Answer 3

Una región $\Omega\subset{\mathbb C}$ admite una rama continua $R$ de $z\mapsto\sqrt{z}\ $ si $\ \Omega$ no contiene ningún camino cerrado alrededor del origen, y lo mismo ocurre con la existencia de una rama continua ${\rm Log}$ de $z\mapsto\log z$ .

Ahora bien, dada tal $\Omega$ necesitabas la función exponencial para crear $R$ de ${\rm Log}$ . Si quiere que "creemos" ${\rm Log}$ de $R$ habría que indicar de alguna manera cuáles son los medios permitidos. Tenga en cuenta que incluso en el ámbito real no hay ningún proceso natural de este tipo.