Que $\mathbb{F}$ ser un campo finito con elementos de $q$ y % que $G = SL_2(\mathbb{F})$. El grupo $G$ actúa sobre el conjunto de $X := \mathbb{F}^2 \setminus \{0\}$, el complemento del origen. ¿Para cualquier homomorfismo de grupo $\chi: \mathbb{F}^\times \to S^1 \subset \mathbb{C}^\times$, $\mathbb{C}\{X\}$, definimos un subspace$$\mathbb{C}\{X\}^\chi := \{f \in \mathbb{C}\{X\} : f(z \cdot x) = \chi(z) \cdot f(x), \text{ }\forall\,z \in \mathbb{F}^\times\}.$$My question is, is $\mathbb{C}\{X\}^\chi$ a $G$-stable subspace of $\mathbb{C}\{X\}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Que $f \in \mathbb{C}\{X\}^\chi$ y que $g \in G$. El grupo $G$ actúa a la derecha en $\mathbb{C}\{X\}$ $(f \cdot g)(x) = f(g \cdot x)$. Para todos los $z \in \mathbb{F}^\times$, $$(f \cdot g)(z \cdot x) = f(g \cdot (z \cdot x)) = f(z \cdot (g \cdot x)) = \chi(z) \cdot f(g \cdot x) = \chi(z) (f \cdot g)(x),$ $ porque $g$ y $z$ ir ($z$ es simplemente la multiplicación por un escalar...). Así $f \cdot g \in \mathbb{C}\{X\}^\chi$ otra vez y así $\mathbb{C}\{X\}^\chi$ es $G$-estable.
