solución general.

Question

Aquí es otro problema de Mathews y de Walker que me ha dado algunos problemas.

1-18. encontrar la solución general de $y^{iv}+ 2y''+y=\cos x$.

Nota: Gracias, todo el mundo, para aclarar la interpretación de $y^{iv}$ como el cuarto derivado de $y$ y para las soluciones claras. Yo había interpretado $y^{iv}$ $y^{\sqrt{-1} \ v}$ $v\in \mathbb{C}$. ¡Por supuesto, esto es una barbaridad no lineal DE!

Answer 1

Si usted mira de cerca a su ODA a la LH lado, descubre que: $$y^{(IV)}+2y^{\prime \prime}+y= (y^{\prime \prime} +y)^{\prime \prime} +(y^{\prime \prime}+y)\; .$$ Después de la sustitución de $u=y^{\prime \prime} +y$, su ODA vuelve a escribir: $$u^{\prime \prime} +u =\cos x\; ,$$ que es una simple ecuación lineal de segundo orden y por lo tanto puede ser resuelto de forma explícita con facilidad; en particular, después de algunos cálculos, te vas a encontrar: $$u(x)=A\ \cos x+ B\ \sin x + \frac{1}{2}\ x\ \sin x\; .$$ Ahora puede volver a la original de desconocido $y$: la única cosa que usted tiene que hacer es resolver la ODA: $$\tag{1} y^{\prime \prime} + y = A\ \cos x+ B\ \sin x + \frac{1}{2}\ x\ \sin x$$ que es de nuevo una simple ecuación lineal de segundo orden. Con el fin de resolver el último de la educación a distancia en una forma inteligente, se puede observar que el $y$ resolver (1) iff $y(x)=\bar{y}(x) + y_1(x) + y_2(x) + y_3(x)$ donde $\bar{y}$ es la solución general de la $\bar{y}^{\prime \prime} + \bar{y} =0$ (que dependerá de dos constantes arbitrarias $C,D\in \mathbb{R}$) y $y_1,\ y_2,\ y_3$ son soluciones particulares de: $$y_1^{\prime \prime} +y_1 = A\cos x,\qquad y_2^{\prime \prime} +y_2=B\sin x ,\qquad y_3^{\prime \prime} + y_3=\frac{1}{2}x\sin x\; .$$

Answer 2

No se trató de la manera más sencilla. Es una ecuación lineal con coeficientes constantes. La ecuación característica es $$ r^4+2\,r^2+1=(r^2+1)^2=0\implica r=\pm i,\text{ raíces de multiplicidad $2$.} $$ La solución de la ecuación homogénea es $$ y_h=C_1\cos x+C_2\sin x+C_3x\cos x+C_4x\sin x. $$ Lookig en el derecho de hans lado, sabemos que no es una solución particular de la ecuación completa de la forma $$ y_p=x^2(A\cos x+B\sin x). $$ $A$ $B$ se encuentran sustituyendo $y_p$ en la ecuación. Su solución general es $$ y=y_h+y_p. $$