Calcular

Question

Estoy tratando de calcular $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k\sin\left(\frac{a}{k}\right)$. Intuitivamente la respuesta es $a$, pero no puedo ver alguna manera de mostrar esto. ¿Puede alguien ayudarme? ¡Gracias!

Answer 1

da de $\displaystyle \sin x \leq x $ $x \geq 0.$ integrar esto en $[0,t]$ $$ -\cos t +1 \leq \frac{t^2}{2} . $ $

Integrando ambos lados de $[0,x]$ da %#% $ #%

Así, $$ -\sin x + x \leq \frac{x^3}{6} .$ $

Por lo tanto, $$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} k \left (\frac{a}{k}-\frac{a^3}{6k^3} \right) \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \left k \leq \frac{1}{n (\frac{a}{j} \right)} \sum_{k=1}^{n} k \left (\frac{a}{k} \right). $$

$$ x - \frac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x.$ Es convergente, el teorema del apretón muestra que $ \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{a^3}{6k^3} $

Answer 2

Yo no voy a trabajar todos los detalles; más bien, yo voy a sugerir en detalle una manera de abordar el problema.

En primer lugar, es suficiente para demostrar el resultado para $a>0$, ya que el seno es una función impar. Para $a>0$ tenemos $k\sin\left(\frac{a}k\right)<k\left(\frac{a}k\right)=a$, por lo que $$\frac1n\sum_{k=1}^nk\sin\left(\frac{a}k\right)<\frac1n\sum_{k=1}^na=a\;;$$ this gives you an upper bound of $un$ en cualquier posible límite.

Usted sabe que $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$, por lo que hay un $c>0$ tal que $\sin x>\frac{x}2$ siempre $0<x<c$. Esto significa que $$k\sin\left(\frac{a}k\right)>\frac{a}2$$ whenever $\frac{a}k<c$, i.e., whenever $k>\frac{a}c$. Now suppose that $n$ is very large compared with $\frac{a}c$; then ‘most' of the terms of $$\frac1n\sum_{k=1}^nk\sin\left(\frac{a}k\right)\tag{1}$$ will be greater than $\frac{a}2$, and hence so will $(1)$ itself. You may have to do a little fiddling to say just how big $n$ should be taken relative to $\frac{a}c$, but it should be clear that this idea works to show that the limit of $(1)$ as $n\to\infty$ must be at least $\frac{a}2$.

Pero lo hice con $\frac12$ claridad se puede hacer con cualquier fracción positiva a menos de $1$: si $0<\epsilon<1$, hay un $c>0$ tal que $\sin x>\epsilon x$ siempre $0<x<c$. Si usted ha completado los detalles que faltan para el párrafo anterior, usted no debería tener demasiados problemas para generalizar para demostrar que el límite de $(1)$ debe ser de al menos $\epsilon a$ cualquier $\epsilon <1$ y, por tanto, debe ser al menos de $a$.