Límite de funciones exponenciales: $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-e^{x \cos x}} {x +\sin x}$

Question

Quiero encontrar el límite de esta función simplemente utilizando la manipulación algebraica. Aunque yo he calculado el límite a través del método de L' Hospital pero todavía quiero calcular el límite puramente por la manipulación de la función para producir una forma donde el límite puede ser aplicada $$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-e^{x \cos x}} {x +\sin x} $ $

Hasta ahora nos han enseñado límites básicos tales como $\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}=1$ y por eso he estado intentando llevar de tal forma en esta expresión.

P.D. tengo la respuesta actual de la regla de L'Hospital es decir $0$

Answer 1

$$\begin{align*} & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - e^{x\cos x}}{x + \sin x} \\ & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - 1 + 1 - e^{x\cos x}}{x + \sin x} \\ & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x+\sin x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-e^{x\cos x}}{x+\sin x} \\ & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+\sin x} + \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1-e^{x\cos x}}{-x\cos x} \cdot \frac{-x\cos x}{x+\sin x} \\ & = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{1 + \frac{\sin x}{x}} + \lim_{x\cos x \rightarrow 0} \frac{e^{x\cos x}-1}{x\cos x} \cdot \lim_{x \rightarrow 0} -\frac{x}{x+\sin x} \cdot \cos x \\ & = 1\cdot \frac{1}{1+1} + 1 \cdot -\frac{1}{1+1} \cdot 1\\ & = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\ & = 0 \\ \end{align*} $$

Answer 2

$$\frac{e^x-e^{x \cos x}} {x +\sin x}=\frac{\frac{e^x}{x}-\frac{e^{x \cos x}}{x}}{1+\frac{\sin x}{x}}=\frac{\frac{e^x-1}{x}-\frac{e^{x \cos x}-1}{x}}{1+\frac{\sin x}{x}}=\frac{\frac{e^x-1}{x}-\cos x\frac{e^{x \cos x}-1}{x \cos x}}{1+\frac{\sin x}{x}}$$

Por lo tanto, el límite es de $\frac{1-1(1)}{1+1}=0$.

Answer 3

Tenga en cuenta $ $$\frac{e^{x} - e^{x\cos x}} {x+\sin x} = e^{x\cos x} \cdot\frac{e^{x(1-\cos x)} - 1}{x(1-\cos x)} \cdot\dfrac{1-\cos x} {1 + \dfrac{\sin x} {x}} $$ which tends to $$e^{0\cdot 1}\cdot 1\cdot\frac{1-1}{1+1}=0$$ as $x\to 0.

Answer 4

$$\lim _{x\to 0}\left(\frac{e^x-e^{x\:\cos(x)}}{\:x+sin(x)}\:\right) \approx \lim _{x\to 0}\left(\frac{1+x+o\left(x^2\right)-\left(1+x+o\left(x^2\right)\right)}{\:x+x+o\left(x^3\right)}\:\right) = \color{red}{0}$$

Answer 5

Considere la posibilidad de $$ \frac{e^x-e^{x\cos x}}{x+\sin x}=\frac{e^x(1-e^{x(\cos x-1)})}{x+\sin x}= \frac{-xe^x}{x+\sin x}\frac{e^{x(\cos x-1)}-1}{x} $$ El primer factor es fácilmente visto a tener límite de $-1/2$. El límite de el segundo factor es $$ \lim_{x\to0}\frac{e^{x(\cos x-1)}-1}{x} $$ cual es la derivada en $0$$f(x)=e^{x(\cos x-1)}$. Cualquier manipulación que hagas va a ser sólo la adaptación de la prueba de la regla de la cadena para este caso en particular, así que ¿por qué no usar directamente? Desde $$ f'(x)=e^{x(\cos x-1)}(\cos x-1-x\sin x) $$ tenemos $f'(0)=0$.

Sin la derivada, $$ \lim_{x\to0}\frac{e^{x(\cos x-1)}-1}{x}= \lim_{x\to0}\frac{e^{x(\cos x-1)}-1}{x(\cos x-1)}(\cos x-1) $$ y el límite de la fracción es $1$ porque es esencialmente el mismo como $$ \lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t} $$ debido a $\lim_{x\to0} x(\cos x-1)=0$ y la función de $g(x)=x(\cos x-1)$ es invertible en un barrio de $0$.