Ciclotómicas polinomios, propiedades.

Question

Deje $F$ ser un campo de características de primer a $n$, y deje $F^a$ ser una expresión algebraica cierre de $F$. Deje $\zeta$ ser una primitiva $n$th raíz de la unidad en la $F^a$. Sé que el monic polinomio $\Phi_n(X)$ factorizes como $$\Phi_n(X) = \prod_{m \in (\mathbb{Z}/n)^\times} (X - \zeta^m).$$I also know that there is a canonical injective group homomorphism $\chi: \text{Ga}(F(\zeta)/F) \(\mathbb{Z}/n)^\times$ that is characterized by the property that $g(\alpha) = \alpha^{\chi(g)}$ for any $g \en \text{Ga}(F(\zeta)/F)$ and any $\alpha \en \mu_n$.

¿Cuál es la forma más fácil y rápida de ver que las siguientes propiedades son verdaderas/donde puedo encontrar una referencia a las pruebas?

Deje $S \subset (\mathbb{Z}/n)^\times$ ser la imagen de arriba homomorphism $\chi$.

1. Si $m_1$ $m_2$ son dos elementos de la $(\mathbb{Z}/n)^\times$ $\zeta^{m_1}$ $\zeta^{m_2}$ son conjugado a otra si y sólo si $m_1$ $m_2$ se encuentran en la misma coset de $S$$(\mathbb{Z}/n)^\times$.

2. Deje $S = S_1, \dots, S_s$ denotar la cosets de $S$$(\mathbb{Z}/n)^\times$. A continuación, para cada una de las $i = 1, \dots, s$, el polinomio $f_i = \prod_{m \in S_i} (X - \zeta^m)$ es un elemento irreductible de $F[X]$.

3. $\Phi_n(X) = f_1(X) \dots f_s(X)$.

Muchas gracias de antemano.

Answer 1

1. $\zeta^{m_1}$ $\zeta^{m_2}$ son conjugadas si y sólo si existe $g \in \text{Gal}(F(\zeta)/F)$ tal que $g(\zeta^{m_1}) = \zeta^{m_2}$. Este es el caso si y sólo si existe $g \in \text{Gal}(F(\zeta)/F)$ tal que $\chi(g)m_1 = m_2$, lo que sucede si y sólo si $m_1$ $m_2$ se encuentran en la misma coset de $\text{Im}\,\chi = S$$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$.
2. Elegimos coset representantes de $t_i$, de modo que $S_i = t_iS$; tenemos que $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ es conmutativa, por lo que no tenemos que preocuparnos por la izquierda o a la derecha. Por (1),$$f_i(X) = \prod_{g \in \text{Gal}(F(\zeta)/F)} (X - \zeta^{t_i \chi(g)}) = \prod_{g \in \text{Gal}(F(\zeta)/F)} (X - g(\zeta^{t_i})).$$As this expands, it is clear that all coefficients are stable under the action of $\texto{Ga}(F(\zeta)/F)$ and so $f_i \in F(\zeta)^G[X] = F[X]$, as $F(\zeta)/F$ is Galois. Moreover, it is the minimal polynomial of $\zeta^{t_i}$ over $F$ ((1)), y así es irreductible.
3. Cada elemento de a $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ aparece en exactamente un coset de $S$, y por lo tanto, aparece como un poder de $\zeta$ exacta en una de las $f_i$. La igualdad en la pregunta ahora es clara.

Answer 2

Estoy realmente seguro de esto, pero aquí está lo que yo podía hacer! Deje $\tau$ en el grupo de Galois. $\tau$ está determinada únicamente por lo que hace a las $\zeta$. Y $\tau_{k}(\zeta)=\zeta^{k}$. Ahora si $m_{1}$ $m_{2}$ se encuentran en la misma coset de $S$,$m_{1}m_{2}^{-1} \in S$, Lo $m_{1}m_{2}^{-1}=t$ algunos $t$$S$. Pero sabemos que nos podemos encontrar en un elememt $\tau_{t}$ en el grupo de Galois tal que $\tau_{t}(\zeta)=\zeta^{t}$, lo $\tau_{t}(\zeta^{m_{2}})=\zeta^{m_{2}t}=\zeta^{m_{1}}$. Se supone que son conjugadas, entonces podemos encontrar $\sigma$ en el grupo de Galois tal que $\sigma(\zeta^{m_{1}})=\zeta^{m_{2}}$, y de ahí que podamos encontrar $t \in S$ tal que $\sigma(\zeta)=\zeta^{k}$ $\zeta^{km_{1}}=\zeta^{m_{2}}$ y desde $\zeta$ es primitivo, $m_{1}k=m_{2}$$m_{2}m_{1}^{-1}=k \in S$. Para el segundo, su polinomio pertenece de hecho a $F[X]$ como es invariante bajo la acción del grupo de Galois, mediante el uso de lo que hemos demostrado en la parte 1. Ahora bien, si tenemos una adecuada irreductible factor de $g_{i}(x)$$f_{i}(x)$, $g_{i}(x)=\prod\limits_{k \in T_{i}}(x-\zeta^{k})$ donde $T_{i}$ es un subconjunto de a $S_{i}$. Pero, también con la primera parte, se puede demostrar que este polinomio no pertenecen a $F[X]$ como se puede producir una automorphism que no solucionarlo!. Ahora por tercera parte, creo que se puede usar el hecho de que los cosets de $S$ partición $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\star}$