¿Es una variable aleatoria bidimensional que CDF es continuo, pero cuyas CDFs marginales son discontinuos?

Question

¿Es una variable aleatoria bidimensional $(X,Y)$, que CDF es continuo, pero cuyas CDFs marginales son discontinuos?

Mi pregunta difiere de éste en que una variable aleatoria que tiene un continuado CDF, que es la condición estipulada en mi pregunta, no es necesariamente una variable aleatoria continua, que es la condición en la otra pregunta. Por lo tanto, mi pregunta es más general que otro.

Answer 1

La respuesta es negativa incluso para la continuidad del coordinatewise.

Que $F_X$ ser discontinuo en $x_0$. Entonces $P(X=x_0)>0$ y, gracias a la continuidad de la probabilidad, $P(X=x_0,Y\le y)>0$ $y\in \mathbb{R}$. Sin embargo, la continuidad de $F_{X,Y}$ $x$ implica $$ P(X=x_0,Y\le y) = x_0 \lim_{x\to-} P (X\in (x_0, x], y Y\le) \\ = \lim_{x\to x_0-}\big(F_{X,Y}(x_0,y)-F_{X,Y}(x,y)\big) = 0, $$ que es una contradicción.