Convergencia de una serie determinada.

Question

Si $(q_n)$ es una enumeración de racionales en $(-1,1)$ excepto $0$ ¿es convergente la siguiente serie?

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(nq_n)^2} $$

¿Hay enumeraciones para las que es convergente y enumeraciones para las que es divergente?

Accidentalmente hice esta pregunta en mathoverflow. Si alguien está en ambos sitios, por favor, bórrela allí. No me registré en una cuenta y no sabía cómo borrarla yo mismo.

Answer 1

Se trata de ofrecer un ejemplo en el que $q_n \ge h(n)=(1/8)n^{-1/3},$ un ligero ajuste de la idea en la respuesta de roger. El factor $1/8$ se insertó sólo para poder empezar la secuencia. Si se hace esto, entonces $1/(nq_n)^2 \le 64/n^{4/3}$ que converge al sumarse.

Tenga en cuenta que $h(n)$ es decreciente, y $h(8^k)=1/2^{k+1}.$ Comenzar con una enumeración $r_1,r_2,\cdots$ de los racionales en $(0,1)$ . Describiremos $q_n$ como un reordenamiento de la secuencia de $r_j$ por una regla definida.

Paso $0$ : Tome $q_1,q_2,\cdots,q_{2^3}$ como los ocho primeros términos de la $r$ secuencia (en su orden a partir de esa secuencia) que son al menos $1/2^3.$ Desde $h(1)=1/2^3$ y $h$ es decreciente, cada $q_j$ es al menos $h(j)$ en este primer paso.

Paso $1$ : Tome $q_{2^3+1},\cdots, q_{2^6}$ como la primera $2^6-2^3$ términos de la $r$ secuencia no elegida ya en el paso $0$ que son al menos $1/2^4$ . Desde $h(2^3)=1/2^4$ y $h$ es decreciente, cada $q_j$ elegido en el paso 1 es al menos $h(j)$ .

Cada paso adicional ("paso $t$ ") selecciona otro bloque de la secuencia de $q$ de un índice $2^{3t}+1$ a través del índice $2^{3(t+1)}$ y utiliza los siguientes términos de la $r$ secuencia que son al menos $1/2^{t+1}$ .

Cada $r_j$ en la lista inicial de racionales debe utilizarse finalmente, ya que una vez que esté disponible en el paso $t$ queda disponible en todos los pasos posteriores. Entonces, como $r_j$ tiene una posición definida en la secuencia inicial $r_1,r_2,\cdots$ al final se elegirá en algún paso $t$ .

Así que esto da un ejemplo de tal secuencia que es convergente. No es directamente constructiva, a menos que se vea la secuencia inicial de $r's$ como constructivo, y el proceso de reordenación.

Answer 2

Supongamos para simplificar y WLOG que sólo considera los racionales en $(0,1)$ . La serie es convergente, por ejemplo, si se toma $q_n \geq n^{-1/3}$ para todos $n$ . Es divergente es usted toma $q_{2n} \leq \frac 1 {n} $ para todos $n$ .