Demostrar que $|\sin^{−1}(a)−\sin^{−1}(b)|≥|a−b|$

Question

Pregunta:

Utilizando el Valor medio Teorema, demostrar que $$|\sin^{−1}(a)−\sin^{−1}(b)|≥|a−b|$$ for all $a,b∈(1/2,1)$. Here, $\el pecado^{-1}$ denota la inversa de la función seno.

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Intento:

Creo que sé cómo hacer esto, pero quiero asegurarme de que estoy tan detallado como sea posible, así que conseguir todas las marcas. Aquí va mi intento:

Definir $f:[-1,1] \rightarrow [-\pi/2,\pi/2]$$f(x)=\sin^{-1}(x)$. Esta es una función derivable en a $(-1,1)$ y continua en $[-1,1]$. 'Sin pérdida de generalidad" asumir $a<b$. Nuestra $f$ es continua en a $[a,b]$ y diferenciable en a $(a,b)$ desde $[a,b] \subset [-1,1]$.

Por MVT, existe $c \in (-1,1)$ tal que $$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{\sin^{−1}(a)−\sin^{−1}(b)}{b-a}=f'(c)=\frac1{\sqrt{1-c^2}}\geq 1$$ which gives us: $\el pecado^{-1}(a)−\sin^{-1}(b) \geq b-a$ y, a continuación, dar el resultado deseado por poner el módulo en ambos lados.

Mi preocupación es que me dijo $a<b$. ¿Puedo hacer eso?

Y lo mas importante es que vamos a $c \in(-1,1)$ e no $(a,b)$. Es que mal? Si lo dejé en $(a,b)$, entonces es imposible decir que es $\geq 1$...

Answer 1

Mi preocupación es que había dicho $a<b$. ¿Puedo hacerlo?

Sí, porque son arbitrarias $a,b \in (1/2,1)$ y $$|\sin^{-1}(a)-\sin^{-1}(b)| = |\sin^{-1}(b)-\sin^{-1}(a)|, \quad \text{and} \quad |a-b| = |b-a|.$ $

Y lo más importante es $c∈(−1,1)$ y no $(a,b)$. ¿Es eso malo?

Sí, debe tener $c \in (a,b)$. Sin embargo, esto no cambia el hecho de que $$\frac{1}{\sqrt{1-c^2}} > 1.$$Note that the inequality is strict: $c$ no será cero.

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Es mejor aplicar el valor absoluto en el orden correcto: $$f(b)-f(a) = f'(c)(b-a) \implies \sin^{-1}(b)-\sin^{-1}(a) = \frac{1}{\sqrt{1-c^2}}(b-a),$$so: $% $ $\left|\sin^{-1}(b)-\sin^{-1}(a)\right| = \left|\frac{1}{\sqrt{1-c^2}}(b-a)\right| > |b-a|$

Answer 2

Esto lo podemos hacer sin cálculo. en primer lugar mostramos una desigualdad equivalente que $$|\sin t - \sin s| \le |t-s|.\tag 1$$ you can show $ 1 $ using the interpretation that $(\cos t, \sin t)$ is the coordinates of the terminal point on the unit circle corresponding to the signed arc length $t$ measured from $(1.0)$

que $$P = (\cos t \sin t), ( Q = \cos s, \sin s) $ $

tenemos $|t-s| = arc PQ \le PQ = \sqrt{(\sin t - \sin s)^2 +(\cos t - \cos s)^2} \le |\sin t - \sin s|$

suppose $$\sin^{-1} (a) = t, \sin^{-1}(b) = s $$ then we know the following $$-\pi/2 \le t, s \le \pi/2, \sin t = a, \sin s = b $$ putting these in $(1),$ we have $$ |a-b| \le |\sin^{-1} (a) -\sin^{-1}(b)|.$$

Answer 3

Si escoge dos números, usted puede llamar el menor % de uno $a$y el % de uno más grande $b$.

Suponga que tiene dos números con la etiqueta $a$ y $b$ y $a>b$. Si usted puede escribir una prueba que si $a<b$, entonces usted puede intercambiar los papeles de $a$ $b$ en la prueba y sigue siendo válido.