Demostrar que $V = \ker(\phi^n) \oplus \text{image}(\phi^n)$

Question

Dejemos que $V$ ser un $n$ -espacio vectorial complejo y $\phi:V\to V$ una cartografía lineal. Demostrar que $$V = \ker(\phi^n) \oplus \text{image}(\phi^n)$$

Aquí está mi intento:

Desde $\phi^n$ es también un mapeo lineal de $V$ en $V$ tenemos que $$\dim V = \dim \ker(\phi^n) + \dim \text{image}(\phi^n).$$ Sólo tenemos que demostrar que esta suma es directa, es decir, que $$\ker(\phi^n) \cap \text{image}(\phi^n) = \{0\}.$$ ya que esto implicaría $$V = \ker(\phi^n) + \text{image}(\phi^n)$$

Dejamos que $v \in \ker(\phi^n) \cap \text{image}(\phi^n)$ sea arbitraria y se trate de demostrar que $v=0$ . $\ker(\phi^n)$ es el eigespacio generalizado de $\phi$ para el valor propio $0$ , por lo que hay un $k \leq n$ tal que $\phi^k(v) = 0$ .

Aquí es donde estoy atascado. ¿Cómo puedo proceder desde aquí? ¿Hay alguna otra forma de hacerlo?

Answer 1

Consideramos las cadenas $$V\subset\phi(V)\subset\cdots\subset\phi^n(V)\subset\cdots$$ y $$\dim(V)\geq\dim(\phi(V))\geq\cdots\geq\dim(\phi^n(V))\geq\cdots$$

• Si $\dim(\phi^n(V))=1$ es fácil de probar.

• Si $\dim(\phi^n(V))\geq2$ existe $k\leq n$ tal que $\phi^k(V)=\phi^{k+1}(V)=\cdots$ . En realidad, $\phi:\phi^n(V)\rightarrow\phi^n(V)$ es un isomorfismo.

  • Para cualquier $a\in V$ existe $b$ tal que $\phi^n(a)=\phi^{2n}(b)$ . Entonces podemos demostrar $a=c+\phi^n(b)$ y $\phi^n(c)=0$ .
  • Suponemos que $a\in\ker(\phi^n)\cap\text{image}(\phi^n)$ . Es decir, $\phi^n(a)=0$ y $\phi^n(b)=a$ . Si $a\ne0$ obtenemos $\phi^{2n}(b)=0$ y $\phi^n(b)\ne0$ que llevará a $\dim(\phi^n(V))>\dim(\phi^{2n}(V))$ . Eso es una contracción.

---

Mira otra pregunta Demuestra que $V = \mbox{ker}(f) \oplus \mbox{im}(f)$ para un mapa lineal con $f \circ f = f$ .

---

• En su pregunta, $\phi:\phi^n(V)\rightarrow\phi^n(V)$ es un isomorfismo. También $\phi^n:\phi^n(V)\rightarrow\phi^n(V)$ es un isomorfismo.

• En otra pregunta, $f=id: f(V)\rightarrow f(V)$ es un isomorfismo.

• Lema Dejemos que $f:V\rightarrow V$ sea un mapa lineal con $f:f(V)\rightarrow f(V)$ siendo un isomorfismo. Entonces tenemos $$V=\ker(f)\oplus\text{image}(f)$$

Answer 2

Mi respuesta es sólo una versión depurada de la respuesta de gaoxinge.

$\newcommand{\inters}{\cap} $$ \newcommand{\im}{\mathrm{im}} $The following chain of subspaces of the $ n $-dimensional space $ ¡V\! $, $$ V\supseteq\phi V\supseteq\phi^2V\supseteq\cdots~, $$ cannot strictly decrease for ever, thus there is the least $ k $ such that $ \phi^kV=\phi^{k+1}V\! $, and then $ \phi^kV=\phi^lV $ for all $ l\geq k $. Set $ ¡U:=\phi^kV\! $. In the strictly descending chain $$ V\supset\phi V\supset\cdots\supset\phi^k V $$ the dimensions of subspaces decrease by at least one at each step, so we must have $ k\leq n $. It follows that $ \phi^{n+1}V=\phi^nV=\phi^kV=U $, so that $ \phi\, U=U $, which means that the restriction of $ \fí $ to $ \phi_U\colon U\to U $ is an isomorphism. As you observed it suffices to prove that $ \im(\phi^n)\\Ninters\ker(\phi^n)=0 $, so let us consider any $ y $ in this intersection. Since $ y\in\im(\phi^n)=\phi^nV=U $, and $ \phi_U^ny=\phi^ny=0 $, and $ \phi_U^n\colon U\to U $ is an isomorphism, it follows that $ y=0$, y hemos terminado.