Estoy estudiando el Análisis Funcional de Rudin, y me confunde un paso en su demostración del Teorema 1.24, que dice que si X es un espacio vectorial topológico con una base local contable, entonces hay una métrica d en X tal que a) d es compatible con la topología de X b) las bolas abiertas están equilibradas c) d es invariante y, si X es localmente convexo, entonces todas las bolas abiertas son convexas.
Aquí está una versión reducida de su prueba:
Por su teorema 1.14, X tiene una base local equilibrada $\{V_n\}$ tal que $V_{n+1} + V_{n+1} + V_{n+1} + V_{n+1} \subset V_n$ .
D es el conjunto de todos los números racionales r de la forma $\Sigma_{n=1}^{\infty} c_n(r) 2^{-n}$ donde cada uno de los dígitos $c_i(r)$ es 0 o 1 y sólo un número finito es 1. Se define A(r) = X si $r \geq 1$ . Para cualquier r en D, defina A(r) = $\Sigma c_n(r)V_n$ . (Nótese que cada una es una suma finita). Definir $f(x) = \inf \{r : x \in A(r)\}$ para $x \in X$ y d(x,y) = f(x - y). Rudin demuestra una inclusión $A(r) + A(s) \subset A(r + s)$ y lo utiliza para demostrar que $\{A(r)\}$ está totalmente ordenado por inclusión de conjuntos y que $f(x + y) \leq f(x) + f(y)$ .
Como cada A(r) está equilibrada, $f(x) = f(-x)$ . $f(0) = 0$ . Si x $\not = 0$ entonces $x \not \in V_n = A(2^{-n})$ para algún n, por lo que $f(x) \geq 2^{-n} > 0$ .
No entiendo cómo concluye entonces que $d(x,y) = f(x -y)$ - "estas propiedades de f muestran que d(x,y) define una métrica invariante de traslación d sobre X$".
En concreto, es evidente que si z = 0, entonces $d(x + z, y + z) = d(x,y)$ . Pero para mostrar $d(x + z, y + z) \leq d(x,y)$ He probado esto: $d(x + z, y + z) = f( (x + z) - (y+ z)) \leq f(x) + f(y) + 2f(z)$ que sobreestima $f(x) + f(y)$ desde $f(z)> 0$ y por lo tanto no muestra nada.
Sé que probablemente estoy siendo profundamente espeso, pero estoy frustrado y me gustaría seguir adelante. ¿Qué opinas?
Gracias de antemano. Más agradecimientos a continuación.
