La teoría de cuerdas es una teoría de campos conforme. Esto significa que la teoría cuántica tiene una simetría conforme $z \to f(z)$. Recordemos de la teoría de representaciones, que siempre que una teoría tiene alguna simetría, podemos elegir como nuestra base para el espacio de Hilbert, aquellos estados que transforman bajo representaciones irreducibles del grupo de simetría. En una teoría de campos conforme, existe una correspondencia entre estados y operadores (como se puede ver en una cuantización radial de la teoría), es decir, hay una correspondencia uno a uno entre estados y operadores de nuestra teoría. Esto implica que también podemos elegir una base de operadores que transforman bajo representaciones irreducibles del grupo conforme.
Las representaciones del grupo conforme generalmente se construyen considerando operadores que tienen leyes de transformación específicas bajo dilataciones $D$ (es decir, corresponden a estados que son autoestados de $D$ bajo el mapeo estado-operador). Estos operadores se llaman operadores primarios y se clasifican por sus pesos $(h, {\tilde h})$. Explícitamente, bajo $z \to z' = \zeta z$ estos operadores transforman como $$ {\cal A}(z, {\bar z}) \to {\cal A}'(z',{\bar z}') = \zeta^{-h} {\bar \zeta}^{-{\tilde h}} {\cal A}(z, {\bar z}) $$ Los operadores ${\cal A}(z, {\bar z})$ pueden tomarse como una base para el conjunto de operadores locales de la teoría.
¿Por qué $\partial$ aumenta $h$?
Consideremos el operador ${\cal O}(z,{\bar z}) = \partial {\cal A}(z, {\bar z})$. Bajo $z \to \zeta z$, esto se transforma como $$ {\cal O}(z,{\bar z}) \to {\cal O}'(z',{\bar z}') = \partial' {\cal A}'(z', {\bar z}') = \frac{\partial z}{\partial z'} \partial \left( \zeta^{-h} {\bar \zeta}^{\tilde h} {\cal A}(z, {\bar z}) \right) = \zeta^{-h-1} {\bar \zeta}^{-\tilde h}{\cal O}(z,{\bar z}) $$
Por lo tanto, el peso de ${\cal O}(z,{\bar z})$ es $(h+1, {\tilde h})
