Dejemos que $F: \mathbb R^{n} \to \mathbb R^{m} $ sea un mapa suave, entonces tenemos un homomorfismo de álgebras $F^{*}: C^{\infty}(\mathbb R^{m}) \to C^{\infty}(\mathbb R^{n})$ . ¿Es cierto que cualquier homomorfismo de estas álgebras $f$ es igual a $F^{*}$ para algún mapa suave $F$ ?
Creo que eso no debería ser cierto, porque $ \mathbb R^{n}$ no es compacto. Pero no puedo encontrar el ejemplo de este homomorfismo.
Dejemos que $M$ sea una variedad lisa. Obsérvese que un $\mathbb{R}$ -homomorfismo de álgebra $C^\infty (M) \to \mathbb{R}$ es necesariamente suryente, y que el mapa $$p \mapsto \mathrm{ev}_p \text{ where } \mathrm{ev}_p (f) = f (p)$$ define una biyección entre puntos de $M$ y $\mathbb{R}$ -homomorfismos de álgebra $C^\infty (M) \to \mathbb{R}$ . En el caso de que $M$ tiene un gráfico global esto es obvio, y en general se pueden utilizar funciones de choque para construir una familia de funciones que determine en qué punto un homomorfismo $\phi : C^\infty (M) \to \mathbb{R}$ corresponde a. (Utilice el lema de Hadamard: dadas las funciones de coordenadas locales $(x^i)$ que se desvanecen en $p$ y $f \in C^\infty (M)$ existen funciones suaves $g_i$ tal que $f = f(p) + \sum_i x^i g_i$ localmente).
Por lo tanto, dada cualquier variedad lisa $N$ y cualquier $\mathbb{R}$ -homomorfismo de álgebra $\phi : C^\infty (N) \to C^\infty (M)$ hay un mapa único $F : M \to N$ tal que $\mathrm{ev}_p \circ \phi = \mathrm{ev}_{F (p)}$ para todos los puntos $p$ de $M$ . Dado que las funciones están determinadas por sus valores, esto implica $\phi = F^*$ . Queda por demostrar que $F$ es un mapa suave, pero esto es sencillo: basta con tomar funciones de coordenadas locales en $N$ y aplicar $\phi$ para obtener una expresión local para $F$ en términos de funciones suaves sobre $M$ .
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