Simplificar un factorial

Question

Tengo el problema de evaluar lo siguiente:

$$ (2n)!\over 2^n(n!) $$

¿Se reduce esto a algo en particular?

Lo metí en un ordenador y es

1: 1
2: 3
3: 15
4: 105
5: 945
6: 10395

No hay un patrón inmediatamente aparente.

Answer 1

Puede utilizar la identidad

$$ (2n)! = \Gamma(2n+1) = {\frac {{2}^{2n} \Gamma \left( n + 1\right) \Gamma \left( n + \frac{1}{2} \right) }{\sqrt {\pi }}}\,.$$

Esto lleva a la simplificación

$$\frac{(2n)!}{2^n n!} = \frac{ 2^n \Gamma(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi}} = \frac{ 2^n (n-\frac{1}{2})!}{\sqrt{\pi}}\,.$$

Answer 2

Desde $(2n)! = (2n) \times (2n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ . Dividir el producto en productos de factores pares y factores Impares: $$ (2n)! = \prod_{m=1}^{n} (2m) \cdot \prod_{m=1}^{n} (2m-1) = 2^n \prod_{m=1}^n m \cdot \prod_{m=1}^{n} (2m-1) = 2^n n! \prod_{m=1}^{n} (2m-1) $$ Por lo tanto: $$ \frac{(2n)!}{2^n n!} = \prod_{m=1}^n (2m-1) = (2n-1)!! $$ donde $m!!$ denota doble factorial .

Answer 3

Como dijo Brian, no obtendrás una bonita expresión de forma cerrada. También puedes hacer un poco de álgebra y llegar a una expresión con funciones gamma en lugar de factoriales.

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

Answer 4

No obtendrás una forma cerrada agradable, pero hay otra manera de escribirla que a veces es útil. Observa que

$$\begin{align*}2^nn!&=\underbrace{2\cdot2\cdot2\cdot\ldots\cdot2}_n\cdot1\cdot2\cdot3\cdot\ldots\cdot n\\&=(2\cdot1)(2\cdot2)(2\cdot3)\dots(2\cdot n)\\&=2\cdot4\cdot6\cdot\ldots\cdot 2n\;,\end{align*}$$

hacer un poco de cancelación, y mirar el comentario de Qiaochu.